Dérivation et calcul de modèles effectifs pour des milieux hétérogènes et des suspensions fluides

Derivation and study of effective models for heterogeneous media and fluid suspensions

• Auteur / Autrice : Alexandre Girodroux-Lavigne
• Direction : David Gérard-Varet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 29/09/2023
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Sonia Fliss
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : David Gérard-Varet, Amina Mecherbet, Antoine Gloria
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Claude Le Bris, Juan Velázquez

Mots clés

Mots clés contrôlés

Rhéologie

Théorie des graphes

Approximation numérique

Homogénéisation (équations différentielles)

Milieux hétérogènes (physique)

Mots clés libres

Milieux hétérogènes

Homogenéisation

Modèle effectif

Approximation par un graphe

Système de particules en interaction

Suspension de micro-Nageurs

Rhéologie

Limite hydrodynamique

Fluide non-Newtonien

Heterogeneous media

Homogenization

Effective models

Network approximation

Interacting particle systems

Micro-Swimmers suspensions

Rheology

Hydrodynamic limits

Non-Newtonian fluids

Résumé

Cette thèse de doctorat est consacrée à l'analyse d'équations aux dérivées partielles décrivant des milieux hétérogènes, solides ou fluides, caractérisés par la présence d'échelles microscopiques et macroscopiques. Le fil directeur de ce manuscrit est la dérivation et l'étude de nouveaux modèles simplifiés, issues de ces équations. Le travail de cette thèse est structuré en trois parties indépendantes. Dans la première partie, nous nous concentrons sur l'homogénéisation d'inclusions de conductivité infinie, réparties de manière aléatoire à l'intérieur d'un milieu conducteur homogène. Pour ce problème, il existe un modèle effectif limite de conductivité finie homogène sous des hypothèses sur la répartition des inclusions. En nous appuyant sur des idées d'approximation par un graphe, nous fournissons un critère général relaxé assurant l'homogénéisation et l'existence d'un modèle effectif. Dans la deuxième partie, nous étudions la rhéologie d'une suspension de micro-nageurs, à l'équilibre dans un écoulement de Stokes. Dans le cadre d'un régime dilué, nous dérivons un modèle effectif qui capture la viscosité induite par un grand nombre de particules solides ainsi qu'un stress effectif causé par leur auto-propulsion. Dans la troisième et dernière partie de cette thèse, nous considérons une description mésoscopique d'une suspension de micro-nageurs browniens qui couple la densité de particules avec la vitesse du fluide. On s'intéresse à un régime spécifique d'un petit nombre de Weissenberg où la diffusion rotationnelle des particules domine. Nous utilisons alors une approche perturbative pour justifier que le système est proche d'un modèle macroscopique correspondant à un fluide non-newtonien de second ordre.

This doctoral thesis is devoted to the analysis of partial differential equations that describe heterogeneous media displaying scale separation. The primary objective of this manuscript is to derive and investigate new simplified models arising from these multi-scale models. The work of this thesis is structured in three independant parts. In the first one, we focus on the homogenization of inclusions of infinite conductivity, randomly distributed within a conducting media. It is well-established that under certain assumptions regarding the geometry of these inclusions, an effective limiting model with finite homogeneous conductivity does exist. Drawing upon concepts from network approximation, we provide a new mild criterion ensuring homogenization and the existence of an effective model, allowing to deal with new configurations of inclusions. In the second part, we investigate the rheology of a suspension of micro-swimmers, at equilibrium within a Stokes flow. In a dilute regime, we derive an effective limit model that captures the viscosity induced by the rigid particles, as well as an effective active stress caused by the particles self-propulsion. The third and final part of this thesis is dedicated to a mesoscopic description of a brownian micro-swimmer suspension that couples the particle density with the fluid velocity. Our focus is on the specific regime characterized by a very small Weissenberg number, where the rotationnal diffusion of the particles dominates over other effects. In this context, we employ a perturbative approach to demonstrate that the system is close to a macroscopic model, which corresponds to a second-order fluid model with non-Newtonian features.