Méthode de Trefftz avec reconstruction de la dérivée normale appliquée aux équations Elliptiques

A Trefftz method with reconstruction of the normal derivative applied to Elliptic equations

• Auteur / Autrice : Maria El Ghaoui
• Direction : Bruno Després, Toni Sayah
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 16/05/2022
• Etablissement(s) : Sorbonne université en cotutelle avec Université Saint-Joseph (Beyrouth)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Stéphanie Salmon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Xavier Claeys, Joanna Bodgi, Jad Dakroub
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bernardo Cockburn, Hélène Barucq

Mots clés

Mots clés contrôlés

Éléments finis, Méthode des

Méthode de Galerkin Discontinue

Équations différentielles elliptiques -- Solutions numériques

Mots clés libres

Méthode de Trefftz

Problème de Laplace

Estimation d'erreur a priori

Trefftz method

Numerical method

High-order

A priori error estimate

Résumé

La méthode de Trefftz est une méthode d’approximation pour résoudre des problèmes linéaires de valeurs limites qui se posent en mathématiques appliquées et en sciences de l’ingénieur. Cette méthode consiste à approcher la solution exacte par une combinaison linéaire de fonctions de base satisfaisant exactement l’équation différentielle gouvernante. L’un des avantages de cette méthode est que le nombre de fonctions de base par cellule est de O(m), asymptotiquement bien inférieur à l’estimation quadratique O(m2) pour les approximations par éléments finis et Galerkin discontinu. Pour une équation du modèle de Laplace, nous présentons une méthode de Trefftz d’ordre élevé avec une formule de quadrature pour le calcul de la dérivée normale aux interfaces. Nous introduisons une formulation variationnelle discrète et étudions l’existence et l’unicité de la solution discrète. Une estimation d’erreur a priori est ensuite établie et enfin, plusieurs expériences numériques sont présentées.

The Trefftz method is an approximation method for solving linear boundary value problems arising in applied mathematics and engineering sciences. This method consists in approximating the exact solution through a linear combination of trial functions satisfying exactly the governing differential equation. One of the advantages of this method is that the number of trial functions per cell is O(m), asymptotically well less than the quadratic O(m2) estimate for finite element approximations and discontinuous Galerkin method. For an equation of the Laplace model, we present a high-order Trefftz method with a quadrature formula to calculate the derivative normal at the interfaces. We introduce a discrete variational formulation and to study then the existence and uniqueness of the discrete solution. A priori error estimate is then established and finally, several numerical experiments are presented.