Amélioration des algorithmes de crible. Application à la factorisation des entiers

Improvement of sieving algorithms. Application to integer factorization

• Auteur / Autrice : Ambroise Fleury
• Direction : Mathieu Jan, Charles Bouillaguet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 09/12/2024
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'intégration des systèmes et des technologies (Gif-sur-Yvette, Essonne ; 2001-....) - LIP6 (1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Informatique et sciences du numérique (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Louis Goubin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laurent Imbert, Guilhem Castagnos, Cécile Pierrot, Malika Izabachène, Guénaël Renault
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Laurent Imbert, Guilhem Castagnos

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cryptographie à clé publique

Théorie algorithmique des nombres

Systèmes informatiques -- Mesures de sûreté

Mots clés libres

Cryptographie

Cryptanalyse

Factorisation

Théorie des nombres

Cryptography

Cryptanalysis

Factorization

Number theory

Résumé

Le crible algébrique (Number Field Sieve - NFS) est le meilleur algorithme connu pour la factorisation des grands entiers, et le crible est une étape cruciale du NFS. Il s’agit d’une opération qui prend beaucoup de temps et dont le but est de collecter de nombreuses relations. Le but final est de générer des entiers friables aléatoires modulo N avec leur décomposition en facteurs premiers, où friable est dé-fini sur les côtés rationnel et algébrique selon deux bases de facteurs premiers.Dans les outils de factorisation modernes, tels que Cado-NFS, le crible est divisé en différentes étapes en fonction de la taille des nombres premiers, mais établir des bons paramètres pour toutes les étapes est basé sur des arguments heuristiques et pratiques. Au début, les candidats sont criblés avec des petits nombres premiers des deux côtés puis ils passent aux étapes suivantes avec des nombres premiers plus grands, jusqu’à la dernière où nous factorisons la partie restante à l’aide de l’algorithme ECM. D’une part, les premières étapes sont rapides, mais ne per-mettent pas de filtrer pas beaucoup, et nous passons beaucoup de temps sur des relations inutiles. D’autre part, les étapes finales prennent plus de temps mais filtrent plus. Il n’est pas facile d’évaluer la performance de la meilleure stratégie sur l’ensemble de l’étape de crible puisqu’elle dépend de la distribution des survivants à chaque chaque étape.Cette thèse tente d’accélérer l’étape de crible, étant donné que de nombreuses améliorations ont été apportées à toutes les autres étapes du NFS. Sur la base des relations collectées lors de la factorisation RSA-250 et de tous les paramètres, nous essayons d’étudier différentes stratégies pour mieux comprendre cette étape. De nombreuses stratégies ont été défi-nies depuis la découverte de NFS, et nous pro-posons ici une évaluation expérimentale.

The Number Field Sieve (NFS) is the state-of-the art algorithm for integer factoring, and sieving is a crucial step in the NFS. It is a very time-consuming operation, whose goal is to collect many relations. The ultimate goal is to generate random smooth integers modulo N with their prime decomposition, where smooth is defined on the rational and algebraic sides according to two prime factor bases.In modern factorization tools, such as Cado-NFS, sieving is split into different stages de-pending on the size of the primes, but defining good parameters for all stages is based on heu-ristic and practical arguments. At the beginning, candidates are sieved by small primes on both sides, and if they pass the test, they continue to the next stages with bigger primes, up to the final one where we factor the remaining part using the ECM algorithm. On the one hand, first stages are fast but many false relations pass them, and we spend a lot of time with useless relations. On the other hand final stages are more time demanding but outputs less rela-tions. It is not easy to evaluate the performance of the best strategy on the overall sieving step since it depends on the distribution of numbers that results at each stage.This thesis tries to examine different sieving strategies to speed up this step since many im-provements have been done on all other steps of the NFS. Based on the relations collected du-ring the RSA-250 factorization and all parame-ters, we try to study different strategies to bet-ter understand this step. Many strategies have been defined since the discovery of NFS, and we provide here an experimental evaluation.