Autosimilarité multivariée : estimation des exposants d'autosimilarité, tests bootstrap d'égalité entre exposants et applications

Multivariate self-similarity : estimation of the self-similarity exponents, bootstrap tests for the equality of exponents and applications

• Auteur / Autrice : Charles-Gérard Lucas
• Direction : Patrice Abry
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance le 19/10/2023
• Etablissement(s) : Lyon, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de Physique et Astrophysique de Lyon (Lyon ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de physique (Lyon ; 1988-....)
• Jury : Président / Présidente : Pierre-Olivier Amblard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Patrice Abry, Pierre-Olivier Amblard, Marianne Clausel, Abdourrahmane Mahamane Atto, Herwig Wendt, Béatrice Vedel
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Marianne Clausel, Abdourrahmane Mahamane Atto

Mots clés

Mots clés contrôlés

Traitement du signal

Bootstrap, Théorie du (physique nucléaire)

Mots clés libres

Multivarié

Autosimilarité

Estimation

Bootstrap

Multivariate

Self-similarity

Estimation

Bootstrap

Résumé

L'invariance d'échelle constitue un paradigme polyvalent de traitement du signal et de l'image, apparaissant dans des champs d'applications nombreux et variés du monde réel et pouvant être formalisé par l’autosimilarité. Cependant, la plupart des études pratiques sont restées jusqu'à présent univariées, se limitant à analyser les différentes composantes d'un même jeu de données indépendamment. Pourtant, les applications les plus récentes impliquent souvent le recours à de nombreux capteurs pour superviser un même système, dont une étude pertinente nécessite une analyse multivariée des séries temporelles résultantes. Des modèles pour l'autosimilarité multivariée ont été récemment proposés, et une procédure d'estimation robuste pour le vecteur des exposants d'autosimilarité caractérisant un tel modèle à partir de représentations multi-échelles a été développée. Cette procédure souffre néanmoins d'un biais important que le présent travail vise, en premier lieu, à réduire en proposant une modification de celle-ci. Les performances d'estimation sont étudiées théoriquement dans les limites asymptotiques des échantillons de grande taille et empiriquement pour des échantillons de taille finie. Ces outils sont appliqués sur des données physiologiques pour réaliser différentes tâches : la détection de la somnolence et la prédiction de crises d’épilepsie. En second lieu, est traitée la question clé de compter le nombre de valeurs réellement distinctes parmi les exposants d'autosimilarité et le nombre d'exposants d'autosimilarité prenant chacune de ces valeurs. Sont ainsi proposées différentes procédures de tests d'égalité entre exposants d'autosimilarité à partir d'un schéma de ré-échantillonage bootstrap par blocs temps-échelle multivariés récemment développé. Enfin, pour tenir compte des ordres de grandeur des données du monde réel, le cadre de la grande dimension, où le nombre de séries temporelles croît avec leur taille, est également abordé.

Scale invariance is a versatile signal processing paradigm that appears in many varied real-world applications and can be formalised by self-similarity. However, most practical studies have so far remained univariate, limiting themselves to analysing the different components of the same data set independently. Yet, the most recent applications often involve the use of many sensors to monitor the same system, for which a relevant study requires a multivariate analysis of the resulting time series. Multivariate self-similarity models have recently been proposed, and a robust estimation procedure for the self-similarity exponent vector characterising such a model from multi-scale representations has been developed. However, this procedure suffers from a significant bias which the present work aims, firstly, to reduce by proposing a modification of this procedure. The estimation performance is studied theoretically in the asymptotic limits of large sample sizes and empirically for finite sample sizes. These tools are applied to physiological data to perform different tasks: drowsiness detection and seizure prediction. Secondly, the key issue of counting the number of truly distinct values among the self-similarity exponents and the number of self-similarity exponents taking each of these values is addressed. Different equality testing procedures are thus proposed based on a recently developed multivariate time-scale block-bootstrap resampling scheme. Finally, to account for the orders of magnitude of real-world data, the high-dimensional asymptotic framework where the number of time series increases with their size is also addressed.