Quelques résultats sur la diffusion d'Aldous algébrique, les processus de Pitman-Yor et les champs aléatoires à bruit de grenaille

Some results on the algebraic Aldous diffusion, Pitman-Yor processes, and shot noise fields

• Auteur / Autrice : Roman Gambelin
• Direction : Bartlomiej Blaszczyszyn
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 29/11/2024
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : DIENS - Département d'informatique de l'École normale supérieure
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : DYOGENE
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École normale supérieure (Paris ; 1985-....)
• Jury : Président / Présidente : Anne Estrade
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bartlomiej Blaszczyszyn, Romain Abraham, Nicolas Broutin, Thomas Duquesne, Nathanaël Enriquez, Philippe Marchal, Béatrice De tiliere
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Romain Abraham, Nathanaël Enriquez

Mots clés

Mots clés libres

Arbre algébrique mesuré

Limite d'échelle

Processus de Markov

Processus de Pitman-Yor

Diffusion d'Aldous

Champ aléatoire à bruit de grenaille

Algebraic measure tree

Scaling limit

Markov process

Pitman-Yor process

Aldous diffusion

Shot noise field

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à trois problèmes relativement distincts en théorie des probabilités. Dans un premier chapitre, nous démontrons une caractérisation intégrale de type Mecke pour les processus de Pitman-Yor ayant une mesure moyenne diffuse. Les processus de Pitman-Yor sont une classe de probabilités aléatoires sur un espace polonais quelconque dont les lois sont paramétrées par leur mesure moyenne (arbitraire) et deux paramètres réels dits de force et de remise, respectivement. L'étude de ces processus est d'importance particulière car ils constituent le modèle de base en statistique bayésienne non paramétrique. Notre résultat étend une caractérisation similaire démontrée par Last en 2018 pour les processus de Dirichlet, correspondant au cas d'un paramètre de remise nul. Alors que Last a utilisé une méthode des moments, notre preuve repose sur une propriété structurelle unique des processus de Pitman-Yor et fait appel à la théorie des processus ponctuels. Notre second problème porte sur l'étude asymptotique d'une chaîne de Markov sur les arbres à n feuilles, lorsque le nombre de feuilles tend vers l'infini. Cette chaîne est une extension à un paramètre d'une chaîne sur les arbres binaires introduite par Aldous en 1998. L'existence d'un processus limite à la chaîne d'Aldous est une conjecture dont une solution a notamment été proposée par Löhr, Mytnik et Winter en 2020. Leur résultat se base sur la théorie des arbres algébriques mesurés, développée par Löhr et Winter à l'occasion. Dans le quatrième chapitre de cette thèse, nous reprenons cette approche pour démontrer l'existence d'un processus limite à notre chaîne, qui admet pour unique distribution invariante la loi d'un arbre stable, un arbre aléatoire fractal dont les points de branchement on tous un degré infini. Pour ce faire, nous étendons d'abord la théorie des arbre algébriques mesurés dans un troisième chapitre. En particulier, nous connectons celle-ci avec la théorie des hiérarchies échangeables, notamment étudiée par Haulk, Forman et Pitman. Dans le dernier chapitre, nous établissons des théorèmes limites pour des sommes aléatoirement pondérées, dans un sens très large. Nous appliquons ensuite ces résultats aux champs aléatoires à bruit de grenaille, qui apparaissent notamment dans le domaine des télécommunications, et aux fonctionnelles linéaires de processus de Pitman-Yor.

In this thesis, we focus on three relatively distinct problems in probability theory. In the first chapter, we demonstrate an integral (Mecke-type) characterization for Pitman-Yor processes with a diffuse mean measure. Pitman-Yor processes are a class of random probability measures on an arbitrary Polish space, where the laws are parameterized by their (arbitrary) mean measure and two real parameters, known respectively as the strength and the discount. The study of these processes is of particular importance as they form the standard model in nonparametric Bayesian statistics. Our result extends a similar characterization demonstrated by Last in 2018 for Dirichlet processes, which correspond to the case of a zero discount parameter. While Last used a moment method, our proof relies on a unique structural property of Pitman-Yor processes and leverages tools from point process theory. Our second problem concerns the asymptotic study of a Markov chain on trees with n leaves, as the number of leaves tends to infinity. This chain is a one-parameter extension of a chain on binary trees introduced by Aldous in 1998. The existence of a limiting process for Aldous's chain was conjectured, with a solution notably proposed by Löhr, Mytnik, and Winter in 2020. Their result is based on the theory of algebraic measure trees, developed by Löhr and Winter for this purpose. In the fourth chapter of this thesis, we build on this approach to prove the existence of a limiting process for our chain, which has the law of the stable tree, a random fractal tree whose branch points all have infinite degree, as its unique invariant distribution. To do so, we first extend the theory of algebraic measure trees in the third chapter. In particular, we connect it with the theory of exchangeable hierarchies, notably studied by Haulk, Forman, and Pitman. In the final chapter, we establish limit theorems for randomly weighted sums, in a very broad sense. We then apply these results to shot noise random fields, which appear notably in telecommunications, and to linear functionals of Pitman-Yor processes.