Problèmes de diffusion inverse sans information de phase

par Vladimir Sivkin

Projet de thèse en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Roman Novikov.

Thèses en préparation à l'Institut polytechnique de Paris , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard , en partenariat avec CMAP - Centre de Mathématiques appliquées (laboratoire) et de Equations aux dérivées partielles pour la physique (equipe de recherche) depuis le 01-10-2020 .


  • Résumé

    L'objectif des problèmes de diffusion inverse consiste à déterminer la structure d'un objet à partir de données de diffusion. Ces problèmes se posent en particulier dans différents domaines de la physique, en chimie, en biologie et en médecine. Du point de vue mathématique, il s'agit d'étudier les propriétés des transformations qui associent à des coefficients d'équations aux dérivées partielles (par exemple, l'équation de Schrodinger de la mécanique quantique, l'équation de Helmholtz de l'acoustique ou de l'électrodynamique) des données de diffusion. De plus, seules les données de diffusion sans information de phase peuvent être mesurées directement dans la pratique en mécanique quantique et dans certains autres cas. A noter qu'en mécanique quantique cette limitation est liée à l'interprétation probabiliste de la fonction d'onde proposée à l'origine par Max Born en 1926. De même, la plupart des techniques de mesure optique fournissent uniquement des informations sur l'amplitude, mais pas sur la phase des ondes électromagnétiques harmoniques temporelles. A cet égard, les problèmes de diffusion inverse sans information de phase sont d'une importance particulière. Et un progrès très essentiel a été réalisé récemment dans ce domaine; voir, par exemple, [AHN], [CSV], [HN], [K], [MH], [N1] - [N3], [NS]. Dans le cadre de cette thèse, il est prévu de partir des résultats présentés dans [AHN], [N1] - [N3], [NS]. En particulier, l'un des objectifs consiste à implémenter numériquement l'approche de [N1] - [N3], [NS] et à la tester sur des données réelles (très probablement, en collaboration avec T. Hohage et A. Agaltsov de Göttingen, Allemagne ). Un autre objectif, par exemple, consiste en des études comparatives d'approches de [AHN], [N1] - [N3], [NS] et d'approches conventionnelles de la cristallographie aux rayons X; voir, par exemple, l'article «X-ray crystallography» sur Wikipedia. Références [AHN] A.D. Agaltsov, T. Hohage, R.G. Novikov, An iterative approach to monochromatic phaseless inverse scattering, Inverse Problems 35(2), 24001 ( 24 pp.) (2019) [CSV] E.J. Candes, T. Strohmer, V. Voroninski, PhaseLift: exact and stable signal recovery from magnitude measurements via convex programming, Comm. Pure Appl. Math., 66(8), 1241-1274 (2013) [ HN] T. Hohage, R.G. Novikov, Inverse wave propagation problems without phase information, Inverse Problems 35(7), 070301 (4pp.)(2019) [K] M.V. Klibanov, Phaseless inverse scattering problems in three dimensions, SIAM J. Appl. Math., 74(2), 392-410 (2014) [MH] S. Maretzke, T. Hohage, Stability estimates for linearized near-field phase retrieval in x-ray phase contrast imaging, SIAM J. Appl. Math., 77(2), 384-408 (2017) [N1] R.G. Novikov, Phaseless inverse scattering in the one-dimensional case, Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications 3(1), 63-69 (2015) [N2] R.G. Novikov, Formulas for phase recovering from phaseless scattering data at fixed frequency, Bulletin des Sciences Mathématiques, 139(8), 923-936 (2015) [N3] R.G. Novikov, Multipoint formulas for phase recovering from phaseless scattering data, Journal of Geometric Analysis, doi:10.1007/s12220-019-00329-6 [NS] R.G. Novikov, V.N. Sivkin, Error estimates for phase recovering from phaseless scattering data, Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications 8(1), (2020); hal-02370007v1

  • Titre traduit

    Inverse scattering problems without phase information


  • Résumé

    The objective of inverse scattering problems consists in determining the structure of an object from scattering data. These problems arise, in particular, in different domains of physics, in chemistry, biology and medicine. On the mathematical level, inverse scattering problems are often reduced to studies of transforms mapping coefficients of differential equations (e.g., Schrodinger equation of quantum mechanics, Helmholtz equation of acoustics or electrodynamics) into scattering data. In addition, only scattering data without phase information can be measured directly in practice in quantum mechanics and in some other cases. Note that in quantum mechanics this limitation is related to the probabilistic interpretation of the wave function proposed originally by Max Born in 1926. Similarly, most optical measurement techniques only provide information on the amplitude, but not on the phase of time-harmonic electromagnetic waves. In this connection inverse scattering problems without phase information are of particular importance. And a very essential progress has been made recently in this domain; see, e.g., [AHN], [CSV], [HN], [K], [MH], [N1]-[N3], [NS]. In the framework of this PhD thesis it is planned to proceed from results presented in [AHN],[N1]-[N3], [NS]. In particular, one of the objectives consists in numerical implementation of the approach of [N1]-[N3], [NS] and testing it on real data ( most probably, in collaboration with T. Hohage and A. Agaltsov from Gottingen, Germany). Another objective, for example, consists in comparative studies of approaches of [AHN], [N1]-[N3], [NS] and conventional approaches of the X-ray crystallography; see, e.g., the article ”X-ray crystallography” in Wikipedia. References [AHN] A.D. Agaltsov, T. Hohage, R.G. Novikov, An iterative approach to monochromatic phaseless inverse scattering, Inverse Problems 35(2), 24001 ( 24 pp.) (2019) [CSV] E.J. Candes, T. Strohmer, V. Voroninski, PhaseLift: exact and stable signal recovery from magnitude measurements via convex programming, Comm. Pure Appl. Math., 66(8), 1241-1274 (2013) [ HN] T. Hohage, R.G. Novikov, Inverse wave propagation problems without phase information, Inverse Problems 35(7), 070301 (4pp.)(2019) [K] M.V. Klibanov, Phaseless inverse scattering problems in three dimensions, SIAM J. Appl. Math., 74(2), 392-410 (2014) [MH] S. Maretzke, T. Hohage, Stability estimates for linearized near-field phase retrieval in x-ray phase contrast imaging, SIAM J. Appl. Math., 77(2), 384-408 (2017) [N1] R.G. Novikov, Phaseless inverse scattering in the one-dimensional case, Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications 3(1), 63-69 (2015) [N2] R.G. Novikov, Formulas for phase recovering from phaseless scattering data at fixed frequency, Bulletin des Sciences Mathématiques, 139(8), 923-936 (2015) [N3] R.G. Novikov, Multipoint formulas for phase recovering from phaseless scattering data, Journal of Geometric Analysis, doi:10.1007/s12220-019-00329-6 [NS] R.G. Novikov, V.N. Sivkin, Error estimates for phase recovering from phaseless scattering data, Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications 8(1), (2020); hal-02370007v1