Développement et application de nouvelles méthodes pour le bootstrap conforme numérique.

Development and application of novel numerical conformal bootstrap methods.

• Auteur / Autrice : Benoit Sirois
• Direction : Vyacheslav Rychkov
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Physique
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 21/09/2023
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Physique en Île-de-France (Paris ; 2014-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de physique de l'ENS (Paris ; 2019-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École normale supérieure (Paris ; 1985-....)
• Jury : Président / Présidente : Kay Wiese
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Vyacheslav Rychkov, Yifei He, Marco Serone, David Poland, Alessandro Vichi
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : David Poland, Alessandro Vichi

Mots clés

Mots clés libres

Bootstrap

Transitions de phase

Théorie conforme des champs

Fonction de navigation

Optimisation numérique

Matériaux magnétiques non-colinéaires

Conformal Field Theory

Bootstrap

Phase transitions

Navigator function

Numerical optimization

Noncollinear magnets

Résumé

Pour plus d'une décennie, le bootstrap conforme numérique s'est avéré être un outil indispensable à l'étude des théories des champs conformes (CFTs). Des problèmes de plus en plus difficiles et intéressants peuvent être abordés chaque année grâce à l'amélioration constante de son arsenal de méthodes numériques. Nous proposons dans cette thèse le développement d'une nouvelle méthode numérique, que nous appliquons ensuite à l'étude de questions qui auparavant auraient été pénibles à analyser. Nous introduisons des ``fonctions de navigation''. Ces fonctions donnent une mesure du degré auquel un ensemble de CFT data est permis ou exclu. On propose que cette mesure devrait orienter la recherche de régions permises de CFT data, ce qui devrait mener dans la plupart, sinon tous les cas, à des améliorations drastiques en performance. Nous utilisons pour commencer le modèle d'Ising critique en 3d comme modèle jouet. Nous montrons comment la recherche d'un point permis, ou celle d'un point aux extrêmes de la frontière de la région permise, peut être traduite en un problème d'optimisation de la fonction de navigation. Pour résoudre ce problème, nous adaptons des algorithmes existants aux besoins du bootstrap. Quelconque algorithme d'optimisation efficace requerra la détermination de la valeur de la fonction à optimiser ainsi que certaines de ses dérivées. Nous démontrons que le calcul de la fonction de navigation est équivalent à la résolution d'un programme semidéfini (SDP) typique dans le bootstrap conforme, et que les dérivées peuvent être obtenues gratuitement par l'analyse de la perturbation de solutions optimales d'un SDP. Nous notons aussi que chaque fonction de navigation définie naturellement un point ``le plus permis'' à l'intérieur d'une région permise. Nous naviguons jusqu'à ce point pour le bootstrap mixte des opérateurs sigma et epsilon, et nous observons qu'il se trouve bien plus près du modèle d'Ising qu'un point permis générique. Plusieurs questions intéressantes peuvent concerner non pas une seule CFT, mais une famille de CFTs. L'exemple typique d'une telle famille est le modèle O(n) critique, et nous l'utilisons dans la deuxième partie de cette thèse pour démontrer comment la fonction de navigation peut être utilisée pour rendre l'étude de familles de CFTs plus efficace. La valeur de la fonction de navigation et de ses dérivées en son minimum pour un membre de la famille peuvent être utilisées pour prédire la position du minimum d'un membre voisin de la famille. Ceci permet de suivre efficacement la position de régions permises comme fonction de n (ou de quelconque autre paramètre externe, par exemple la dimensionalité de l'espace d). En utilisant ce truc, nous observons, à notre connaissance pour la première fois dans l'histoire du bootstrap conforme, la disparition d'une île permise. Nous observons que le modèle O(n) critique en 3d disparaît lorsque n->1+, phénomène qu'on explique par la perte sévère d'unitarité dans ce régime. Cette observation est en accord avec des méthodes perturbatives comme l'epsilon-expansion. Nous finissons cette thèse en s'attaquant à un problème non résolu depuis des décennies dans le domaine des transitions de phase classiques: quelle est la nature (de premier ou second ordre) de la transition de phase des stacked triangular antiferromagnets? Les fluctuations critiques de ce modèle devraient être décrites par un lagrangien LGW avec symétrie globale O(n)xO(2), où n réfère au nombre de composantes des spins. Proche de la dimension critique supérieure, ce modèle possède une fenêtre conforme, où une CFT non triviale existe seulement au-dessus d'une valeur critique nc(d). Avec l'aide de la fonction de navigation, nous sommes capables de suivre efficacement le point de disparation de la solution unitaire aux équations de croisement à travers d. Nous sommes ainsi capables de générer une courbe critique qui peut être comparée à celles obtenues par d'autres approches théoriques et numériques.

For more than a decade, the numerical conformal bootstrap has proved to be an invaluable tool for the study of higher-dimensional Conformal Field Theories (CFTs). The conformal bootstrap program being so young, each year more and more intricate and interesting questions are tackled thanks to the consistent improvement of its arsenal of numerical methods. We propose in this thesis the development of a novel numerical method and in tandem, we make use of it to study questions previously out of reach. We introduce so-called ``navigator functions''. These functions are defined so as to give a measure of how allowed or disallowed a putative subset of CFT data is. We propose that this measure should be used to orient the search for allowed regions of CFT data, leading in most, if not all cases, to drastic improvements in efficiency. We first use the 3d critical Ising model as a testing ground. We show how the search for any allowed point, or for an extremal point along the boundary of an allowed region, can be translated to an optimization problem for the navigator function. To solve this problem efficiently, we adapt existing optimization algorithms for the needs of the bootstrap. Any efficient optimization algorithm requires the computation of the function to be optimized, as well as some of its derivatives. We show that the value of a navigator function at any point in the space of CFT data is obtained by solving a semidefinite program (SDP) of the same type as is customary in the bootstrap, and that derivatives may be obtained, for free, through a clever analysis of the perturbation of the optimal solution to an SDP. One peculiar thing is that each navigator function naturally defines a ``most allowed'' point for a particular bootstrap setup. We flow to this point in the case of the mixed-correlator bootstrap of sigma and epsilon, and observe that it sits much closer to the true location of the Ising model than a generic allowed point Many interesting questions can also be asked not about a single CFT, but about a family of CFTs. A prototypical family of CFTs is the critical O(n) model, and we choose it in the second part of this thesis to demonstrate how the navigator function can be used to study families of CFTs more efficiently. One can use the navigator function and its derivatives at the minimal navigator point of a particular member of the family to predict the location of the minimal navigator point of a neighboring member of the family. This allows to efficiently follow allowed islands through n (and also any other external parameters, for example the spacetime dimension d). Using this trick, we observe, to our knowledge for the first time in the numerical bootstrap program, the clear disappearance of an allowed island. We see that the 3d O(n) model disappears as n->1+, and we are able to understand this disappearance as caused by a severe loss of unitarity below n=1. We are able to match this observation with perturbative field theory methods like the epsilon-expansion. We finish this thesis by tackling a decades-old problem in the theory of classical phase transitions: what is the nature of the phase transition (whether first or second order) of the stacked triangular antiferromagnet, perhaps the simplest of all frustrated magnets? The critical modes of this model should be described by a multiscalar LGW Lagrangian with O(n) x O(2) symmetry, where n corresponds to the number of spin components. Near its upper critical dimension, it is well known that this model exhibits a conformal window, where a nontrivial CFT with O(n) x O(2) global symmetry exists only down to some critical value nc(d). With the help of the navigator function, we are able to efficiently follow the point of disappearance of the unitary solution to the bootstrap crossing equations accross d. We are thus able to obtain a full critical curve, which we compare with those obtained from other theoretical and computational approaches.