Thèse en cours

Inégalités fonctionelles dans la theorie de Littlewood-Paley-Stein et paraproduits de martingales
FR  |  
EN
Accès à la thèse
Triangle exclamation pleinLa soutenance a eu lieu le 05/12/2023. Le document qui a justifié du diplôme est en cours de traitement par l'établissement de soutenance.
Auteur / Autrice : Zhendong Xu
Direction : Quanhua Xu
Type : Projet de thèse
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Inscription en doctorat le
Soutenance le 05/12/2023
Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon
Jury : Président / Présidente : Christian Le merdy
Examinateurs / Examinatrices : Quanhua Xu, Eric Ricard, Lixin Yan, Guixiang Hong, Yulia Kuznetsova
Rapporteurs / Rapporteuses : Eric Ricard, Lixin Yan

Résumé

FR  |  
EN

Cette thèse est consacrée à l'étude de certains aspects de la théorie de Littlewood-Paley-Stein et de celles des martingales dans différents contextes, notamment pour les fonctions à valeurs vectorielles et non commutatives. Elle se compose de trois parties. Dans la première, nous établissons une équivalence ponctuelle entre la g-fonction carrée de Littlewood-Paley-Stein et la fonction carrée de martingales. Nos arguments reposent sur la construction d'un semi-groupe de diffusion symétrique spécifique associé à une filtration de martingales. Nous étendons également cette équivalence aux cas vectoriel et non commutatif. En conséquence, nous déterminons l’ordre d’une des meilleures constantes dans l'inégalité de Littlewood-Paley-Stein scalaire. La deuxième partie se concentre sur le scénario à valeurs vectorielles. Nous montrons l'équivalence entre la norme Lp (1 ≤ p < +∞) entre la q-variante vectorielle de l'intégrale de Lusin et celle de la g-fonction de Littlewood-Paley-Stein du semi-groupe dont le générateurs est un opérateur sectoriel satisfaisant à certaines conditions. Les outils principaux sont les espaces de tente à valeurs vectorielles et la fonction carrée intrinsèque introduite par Wilson. En particulier, nous obtenons l’ordre optimal de la meilleure constante correspondante de l'inégalité de Littlewood-Paley-Stein dans Lp à valeurs vectorielles dans un espace de Banach de type q (1 < q ≤ 2) de martingale pour p tendant vers 1. La dernière partie porte sur la décomposition bilinéaire de la multiplication ponctuelle des éléments de l'espace de Hardy de martingales H1 et de son espace dual BMO. Cette décomposition bilinéaire continue est étendue à l'espace de Hardy de martingales Hp (0 < p < 1) et à son espace dual. Nos décompositions reposent sur les paraproduits de martingale. En conséquence, nous obtenons des résultats analogues pour les martingales dyadiques sur les espaces de type homogène grâce à la construction d’un système dyadique.