Thèse soutenue

Autour des modèles en mécanique statistique du point de vue de la théorie du potentiel
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Auteur / Autrice : Yijun Wan
Direction : Dmitry Chelkak
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance le 26/09/2022
Etablissement(s) : université Paris-Saclay
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École normale supérieure (Paris ; 1985-....). Département de mathématiques et applications (1998-....)
référent : Faculté des sciences d'Orsay
graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....)
Jury : Président / Présidente : Nicolas Curien
Examinateurs / Examinatrices : Nathanaël Berestycki, Kalle Kytölä, Titus Lupu, Laure Dumaz
Rapporteurs / Rapporteuses : Nathanaël Berestycki, Kalle Kytölä

Résumé

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Cette thèse porte sur certains modèles de mécanique statistique et de leurs limites à grande échelle, en utilisant principalement l'analyse asymptotique de la fonction de Green apparaissant dans ces modèles. Dans la première partie, nous nous intéressons aux marches aléatoires. Nous établissons la convergence des marches aléatoires massives à boucles effacées vers les SLE₂ massifs. Ceci généralise le résultat célèbre de Lawler, Schramm et Werner pour les marches aléatoires à boucles effacées. Nous avons ensuite étudié les marches aléatoires branchantes, en obtenant l'asymptotique de leur capacité au-dessus et à la dimension critique. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons au modèle d'Ising et de dimères bipartites, qui sont étroitement liés. En perturbant la température du modèle d'Ising de la criticité, nous lui associons une famille de poids massifs de dimères et obtenons la convergence pour les corrélations de densité d'énergie dans le modèle d'Ising et les corrélations des gradients des fluctuations des fonctions de hauteurs dans le modèle de dimères. Nous avons également prouvé une décroissance super-exponentielle des probabilités de croisement pour les ensembles de boucles conformes simples. Il s'agissait d'un ingrédient manquant dans la preuve de la convergence des ensembles de boucles double-dimères vers CLE₄ en termes de probabilités d'événements topologiques macroscopiques.