Analyse dynamique des métamatériaux élastiques imparfaits

Dynamic analysis of imperfect elastic metamaterials

• Auteur / Autrice : Yilun Li
• Direction : Bing Tie, Régis Cottereau
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mécanique des solides
• Date : Soutenance en 2024
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mécaniques et énergétiques, matériaux et géosciences (Gif-sur-Yvette, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LMPS - Laboratoire de Mécanique Paris-Saclay
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : STAN - Sciences et techniques et mécanique numérique
• Partenaire(s) de recherche : Référent : CentraleSupélec (2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Sciences de l’ingénierie et des systèmes (2020-….)
• Jury : Président / Présidente : Sonia Fliss
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mohamed Ichchou, Artur Gower, Simon Felix, Morvan Ouisse
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Simon Felix, Morvan Ouisse

Mots clés

Mots clés libres

Propagation des ondes

Milieux non-périodique

Courbes de dispersion

Théorie de Floquet-Bloch

Approche asymptotique

Wave propagation

Non-periodic media

Dispersion curves

Floquet-Bloch theory

Asymptotic approach

Résumé

Cette thèse étudie l'impact des défauts de périodicité sur la propagation des ondes dans les structures non périodiques. Initialement motivé par l'existence d'imperfections de fabrication, il s'agit d'une problématique critique car les défauts de périodicité peuvent influencer significativement les performances attendues d'un matériau liées à ses caractéristiques périodiques, par exemple en rétrécissant potentiellement les bandes interdites utiles et en introduisant des modes de défaut non souhaités dans les bandes passantes. En outre, l'ajout stratégique de défauts pourrait constituer un moyen prometteur de concevoir de nouveaux métamatériaux dotés de capacités améliorées de contrôle des ondes. L'objectif principal de cette thèse est de développer des méthodes théoriques et numériques pour évaluer de manière précise et efficace l'impact des défauts de périodicité sur les courbes de dispersion et les modes dans les structures non périodiques. Un défi majeur dans ce domaine est que la théorie classique de Floquet-Bloch proposée pour les structures périodiques non bornées n'est plus applicable en présence de défauts de périodicité. Pour relever ce défi, la méthodologie adoptée dans ce travail repose sur deux composants principaux : des « essais » numériques pour illustrer l'influence des défauts, et une extension de l'analyse de Floquet-Bloch pour modéliser des milieux périodiques légèrement désordonnés. En premier, une série de simulations numériques caractérisant quantitativement l'influence des défauts sur la relation de dispersion et les modes propres associés de structures périodiques imparfaites est présentée dans le cas d'ondes élastiques. Ces « essais » numériques introduisent dans une structure initialement périodique des défauts localisés à une échelle bien plus grande que la période de la structure d'origine, ce qui permet d'appliquer la théorie de Floquet-Bloch à cette plus grande échelle. Les résultats numériques révèlent, en accord avec les résultats théoriques de la littérature, que ces défauts peuvent induire des modes non-propagatifs à support localisé (près du défaut) à des fréquences situées dans les bandes interdites de la structure non perturbée. L'évolution monotone de la fréquence propre d'un tel mode de défaut en fonction de l'amplitude du défaut est démontrée numériquement. Les résultats de ces simulations sont confirmés par des simulations en éléments finis dans le domaine temporel sur une structure périodique perturbée bornée, offrant des perspectives utiles pour des applications pratiques des métamatériaux. Ensuite, une analyse asymptotique de l'équation d'ondes acoustiques dans un milieu faiblement perturbé dans sa périodicité est développée. Une nouvelle méthode est proposée pour prédire les courbes de dispersion et les modes propres associés. Les propriétés matérielles non périodiques de l'équation acoustique d'origine sont modélisées comme la composition de champs de matériaux périodiques et d'une transformation géométrique non périodique, supposée asymptotiquement proche de l'identité. A l'ordre dominant de l'amplitude du désordre, le milieu est régi par une équation d'ondes acoustiques à coefficients périodiques, qui peut être traitée par la théorie classique de Floquet-Bloch. Au premier ordre, pour les valeurs propres simples, le post-traitement des valeurs et modes propres périodiques provenant de l'ordre dominant permet de tenir compte du caractère non périodique des coefficients d'origine. Pour les valeurs propres répétées, un résidu est introduit, dont la minimisation permet de conduire à l'ouverture des bandes interdites causée par la perte de périodicité. Finalement, le seul problème à résoudre pour obtenir les courbes de dispersion et les déformées modales du milieu non périodique est le problème de valeur propre périodique défini sur la cellule élémentaire du milieu non perturbé, généralement bien plus petite que le domaine dans lequel se trouvent les défauts.

This thesis investigates the impact of periodicity defects on wave propagation in non-periodic structures. Initially motivated by the existence of manufacturing imperfections, this is a critical issue as periodicity defects can significantly influence a material's expected performance linked to its periodic characteristic, for example by potentially narrowing useful bandgaps and introducing unintended defect modes within passbands. In addition, strategically adding defects could provide a promising means of designing new metamaterials with significantly enhanced wave control capabilities. The main objective of this thesis is to develop theoretical and numerical methods for accurately and efficiently assessing the impact of periodicity defects on dispersion curves and mode shapes in non-periodic structures. A major challenge in this field is that the classical Floquet-Bloch theory, designed for periodic structures, is no longer applicable when there are periodicity defects. To address this challenge, the methodology adopted in this work includes two main components: numerical experiments to illustrate the influence of defects, and an extension of Floquet-Bloch analysis to model slightly disordered periodic media. First, a series of numerical experiments quantitatively characterizing the influence of defects on the dispersion relation and associated eigenmodes of imperfect periodic structures is presented in the case of elastic waves. These numerical experiments introduce localized defects into an initially perfectly periodic structure on a much larger scale than the period of the original structure, enabling the Floquet-Bloch theory to be effectively employed at this larger scale. These numerical results reveal, in line with theoretical results from the literature, that these defects can induce locally-supported (close to the defect) non-propagating modes at frequencies within the bandgaps of the unperturbed structure. The monotonic evolution of the eigenfrequency of such a defect mode with the defect amplitude is monitored numerically. The results of these experiments are confirmed by time-domain finite element simulations over a bounded layer of periodic material, offering useful insights into practical applications of metamaterials. Second, an asymptotic analysis of the acoustic wave equation in a medium weakly perturbed away from periodicity is developed. A new method is proposed to predict the dispersion curves and associated eigenmodes. The non-periodic material properties of the original acoustic equation are modeled as the composition of periodic material fields and a non-periodic mapping, assumed asymptotically close to the identity. At the leading order in the amplitude of the disorder, the medium is driven by an acoustic equation with periodic coefficients, which can be analyzed by using the classical Floquet-Bloch theory. At first order, with simple eigenvalues, post-processing of the periodic eigenvalues and eigenfunctions of the leading order allows to account for the non-periodic character of the original coefficients. In the case of repeated eigenvalues, a residual is introduced, whose minimization makes it possible to recover the opening of the bandgap caused by the loss of periodicity. Eventually, the only problem to be numerically approximated to obtain the dispersion curves and the mode shapes of the non-periodic medium is the periodic eigenvalue problem, which is defined on the unit cell of the undisturbed medium, generally much smaller than the domain over which defects are located.