Temps de mélange pour des processus de Markov à espaces d'états continus

Mixing time for markov process with continuous space states

• Auteur / Autrice : Enguérand Petit
• Direction : Cyril Labbe, Cristina Toninelli
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Sciences
• Date : Inscription en doctorat le 31/08/2020
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : SDOSE Sciences de la Décision, des Organisations, de la Société et de l'Echange
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : UNIVERSITE PARIS DAUPHINE - PSL

Mots clés

Mots clés libres

Processus de Markov

Temps de mélange

Cutoff

Trou spectral

Limite Hydrodynamique

Mixing time

Markov process

Cutoff

Spectral gap

Hydrodynamic limit

Résumé

Ce projet de thèse porte sur l'étude de la convergence à l'équilibre de processus de Markov. On s'intéressera à l'évolution en temps de la distance en variation totale de certains processus de Markov à leurs mesures d'équilibre. Lorsqu'on s'intéresse à une chaîne de Markov irréductible sur un espace d'états finis, sa distance en variation totale avec l'équilibre décroit exponentiellement vite vers 0. Il est souvent naturel de considérer des suites de chaînes de Markov indicées par un paramètre N relié à la taille de l'espace d'états, et d'étudier le profil asymptotique de la distance à l'équilibre. Dans de nombreux modèles, quand N devient grand, la distance en variation totale entre le processus et sa mesure d'équilibre reste proche de 1 sur un intervalle de temps macroscopique (asymptotiquement infini) puis décroche soudainement et atteint un voisinage de 0 de façon abrupte. On parle alors de phénomène de cut-off. Alors que la littérature contient à présent de nombreux exemples de cut-off pour des chaînes de Markov `a espaces d´états finis, l'étude de ce phénomène pour des processus de Markov à espaces d'états infinis est encore très limitée. On s'intéressera donc pendant la thèse à montrer rigoureusement ce phénomène pour des chaînes de Markov à espace d'états continu.

We will study the mixing time of Markov process. We look at the distance between Markov process and its equilibrium measure. This distance has an exponential decrease to 0. We study Markov process with a parameter N (the number of particles for example) and we study when N goes to infinity. We see in lots of models the cutoff phenomena. We want to prove the cutoff phenomena in some Markov process continuous space state.