U-statistiques de matrices échangeables ligne-colonne : application à l'analyse de réseaux écologiques

U-statistics of row-column exchangeable matrices : application to ecological network analysis

• Auteur / Autrice : Tâm Le Minh
• Direction : Stéphane Robin, Sophie Donnet, François Massol
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 13/11/2023
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Mathématiques et Informatique Appliquées (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Sylvain Arlot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gesine Reinert, Yohann de Castro, François Julien Munoz, Tabea Rebafka
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gesine Reinert, Yohann de Castro

Mots clés

Mots clés contrôlés

Écologie -- Réseaux d'interactions

Dépendance (statistique)

Graphes aléatoires

Statistique mathématique -- Théorie asymptotique

Mots clés libres

Statistique asymptotique

U-statistiques

Modèles de graphes aléatoires

Échangeabilité

Réseaux écologiques

Asymptotic statistics

U-statistics

Random graph models

Exchangeability

Ecological networks

Résumé

Le travail présenté dans cette thèse est essentiellement théorique, mais motivé par des applications écologiques. Les réseaux d'interactions écologiques représentent le fonctionnement d'un écosystème. L'étude de la variabilité des réseaux d'interactions permet de comprendre comment les écosystèmes sont affectés par des facteurs externes. Cette thèse propose une méthodologie d'analyse des réseaux bipartites, applicable aux réseaux écologiques mutualistes. Cette méthodologie est basée sur les U-statistiques de matrices échangeables ligne-colonne. Les matrices échangeables ligne-colonne sont des matrices aléatoires dont la distribution de probabilité jointe est invariante par permutations séparées des lignes et des colonnes. Les U-statistiques correspondent à la classe des statistiques définies comme la moyenne empirique d'une fonction d'un sous-ensemble, sur tous les sous-ensembles d'observations. Les U-statistiques des matrices sont la moyenne de la fonction d'une sous-matrice sur l'ensemble des matrices. En analyse de réseaux, les matrices échangeables ligne-colonne sont les matrices d'adjacence de réseaux bipartites à nœuds échangeables et les U-statistiques peuvent être utilisées comme estimateurs de quantités d'intérêt. Cette thèse se concentre sur le comportement asymptotique des U-statistiques des matrices échangeables ligne-colonne. Dans la première partie, les martingales inverses sont utilisées pour obtenir un théorème limite sur les U-statistiques de matrices échangeables ligne-colonne. Dans la deuxième partie, une décomposition de type Hoeffding est établie pour ces matrices, ce qui étend le théorème limite précédent. Inspiré par cette décomposition, un estimateur de la variance asymptotique est également suggéré, permettant de proposer une méthode générale pour effectuer des tâches d'inférence statistique sur des modèles de réseaux échangeables. La troisième partie de la thèse étend la méthodologie aux U-statistiques dégénérées, qui ont un taux de convergence plus rapide. Ces développements statistiques sont appliqués à l'analyse des réseaux bipartites, y compris les réseaux écologiques mutualistes. De nombreuses questions écologiques s'intéressent à la structure générale des réseaux plutôt qu'à la liste des espèces présentes. Les modèles de réseaux aléatoires à nœuds échangeables, dont les matrices d'adjacence sont échangeables ligne-colonne, sont donc bien adaptés à l'analyse de ces réseaux. Les U-statistiques sont utilisées comme estimateurs de quantités d'intérêt telles que l'hétérogénéité des degrés, les densités de motifs ou des métriques sur les graphons. Il est possible d'obtenir des garanties statistiques pour ces estimateurs, par exemple sous la forme d'intervalles de confiance, grâce aux résultats théoriques et à la méthodologie développée dans cette thèse. Quelques exemples de modèles de réseaux aléatoires échangeables et de U-statistiques sont donnés, répondant à des questions écologiques réelles. Des études de simulation sont utilisées pour valider l'utilisation de cette méthodologie sur ces exemples.

The work presented in this thesis is essentially theoretical, but motivated by ecological applications. Ecological interaction networks represent the functioning of an ecosystem. Investigating the variability of interaction networks enables us to understand how the ecosystems are affected by external factors. This thesis suggests a methodology to analyze bipartite networks, applicable to ecological mutualistic networks. This methodology is based on U-statistics of row-column exchangeable matrices. Row-column exchangeable matrices are random matrices, the joint probability distribution of which is invariant by separate permutations of rows and columns. U-statistics correspond to the class of statistics defined as the empirical mean of a function of a subset, over all subsets of observations. U-statistics of matrices are the average of a submatrix function over the entire matrices. In network analysis, row-column exchangeable matrices are the adjacency matrices of bipartite node-exchangeable networks and U-statistics can be used as estimators of quantities of interest. This thesis focuses on the asymptotic behavior of the U-statistics of row-column exchangeable matrices. In the first part, backward martingales are used to derive a limit theorem on U-statistics of row-column exchangeable matrices. In the second part, a Hoeffding-type decomposition is established for them, which extends the previous limit theorem. Inspired by this decomposition, an estimator of the asymptotic variance is also suggested, making it possible to propose a general method for performing statistical inference tasks on exchangeable network models. The third part of the thesis extends the methodology to degenerate U-statistics, which have a faster rate of convergence. These statistical developments are applied to the analysis of bipartite networks, including mutualistic ecological networks. Many ecological questions are interested in the general structure of networks rather than the collection of present species. This makes exchangeable random network models, the adjacency matrices of which are row-column exchangeable, well-suited to analyze these networks. U-statistics are used as estimators of quantities of interest such as the degree heterogeneity, motif densities or graphon metrics. It possible to obtain statistical guarantees on these estimators, for example in the form of confidence intervals, owing to the theoretical results and the methodology developed in this thesis. Some examples of exchangeable random network models and U-statistics are given, answering real ecological questions. Simulation studies are used to validate the use of this methodology for these examples.