Analyse mathématique de quelques systèmes d'équations de type fluide-cinétique

Mathematical analysis of some fluid-kinetic systems of equations

• Auteur / Autrice : Lucas Ertzbischoff
• Direction : Daniel Han-Kwan, Ayman Moussa
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance en 2023
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : CMLS - Centre de mathématiques Laurent Schwartz
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Analyse et EDP
• Jury : Président / Présidente : Anne-Laure Dalibard Roux
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Daniel Han-Kwan, Ayman Moussa, Jean-François Coulombel, Diogo Arsenio, François Golse
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Jean-François Coulombel, Diogo Arsenio

Mots clés

Mots clés libres

Edp

Mécanique des fluides

Équations cinétiques

Dynamique en temps long

Limite hydrodynamique

Couplage singulier

Pde

Fluid mechanics

Kinetic equations

Long-time dynamic

Hydrodynamic limit

Singular coupling

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'analyse mathématique de systèmes de type fluide-cinétique, qui décrivent l'évolution d'une suspension de particules au sein d'un fluide ambiant. Le point de vue adopté est celui de la théorie cinétique pour la phase dispersée et celui de la mécanique des fluides pour la phase continue. Les Chapitres 2 et 3 sont dédiés à l'étude du comportement en temps long pour les équations de Vlasov-Navier-Stokes dans un domaine, avec condition d'absorption au bord pour les particules. Au Chapitre 2, nous analysons la compétition entre concentration en vitesse et absorption dans un domaine borné. Nous démontrons que la fonction de distribution des particules possède un comportement monocinétique en vitesse, et exhibons une grande variété de scénarios pour le profil asymptotique spatial. Au Chapitre 3, nous nous plaçons dans le cas du demi-espace en prenant en compte l'action de la force de gravité sur les particules. Nous montrons que les effets d'absorption au bord, combinés à la gravité, permettent d'obtenir la stabilité de la solution triviale pour ce système. Notre obtenons une famille d'estimations de décroissance en temps pour tous les moments en vitesse de la fonction de distribution, grâce à l'introduction d'une condition de contrôle géométrique appropriée. Dans le Chapitre 4, nous utilisons les idées précédentes pour étudier une limite hydrodynamique des équations de Vlasov-Navier-Stokes avec gravité, dans un régime haute-friction. Nous obtenons ainsi la dérivation globale en temps d'un système de type Boussinesq-Navier-Stokes. Finalement, le Chapitre 5 est consacré à l'étude mathématique d'un système des sprays épais, qui est un couplage singulier entre une équation cinétique et les équations des fluides compressibles. Dans le cas d'un fluide visqueux, nous démontrons l'existence et l'unicité d'une solution à régularité Sobolev, localement en temps, pour des données initiales satisfaisant un critère de stabilité à la Penrose. Il s'agit de la première construction rigoureuse de solution pour ce type de système, inspirée de travaux récents sur les équations de Vlasov singulières

This thesis delves into the mathematical analysis of fluid-kinetic systems, which describe the evolution of a suspension of particles in an ambient fluid. In this framework, a kinetic equation is coupled with the standard equations of fluid mechanics. The focus of Chapters 2 and 3 is the long-time behaviour of the Vlasov-Navier-Stokes equations in a domain, with absorption boundary condition for the particles. In Chapter 2, we analyse the competition between concentration in velocity and absorption in a bounded domain. We show that the particle distribution function has a monokinetic behaviour in velocity, and exhibit a wide variety of scenarios for the spatial asymptotic profile. In Chapter 3, we consider the half-space case, taking into account the action of the gravity force on the particles. The stability of the trivial solution for the system is explored and proven by combining both the absorption at the boundary and the gravity effects. Our approach is based on time-decay estimates for all moments in velocity of the distribution function, obtained by introducing an appropriate geometric control condition. Chapter 4 builds on the previous ideas to study a hydrodynamic limit of the Vlasov-Navier-Stokes equations with gravity, in a high-friction regime. We obtain the global in time derivation of a Boussinesq-Navier-Stokes type system. Chapter 5 is dedicated to the mathematical study of a thick spray system, which is a singular coupling between a kinetic equation and the compressible fluid equations. In the case of a viscous fluid, we prove the local in time strong well-posedness of the equations with Sobolev regularity, for initial data satisfying a Penrose stability condition. This is the first rigorous construction of solutions to this type of system, in the spirit of some recent works on singular Vlasov equations