Un ticket pour le sparse : de l'estimation des signaux et des paramètres en problèmes inverses bernoulli-gaussiens

A ticket for sparse : Estimation of signals and parameters in a bernoulli-gaussian inverse problem

• Auteur / Autrice : Pierre Barbault
• Direction : Matthieu Kowalski, Charles Soussen
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences du traitement du signal et des images
• Date : Soutenance le 19/09/2023
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire des signaux et systèmes (Gif-sur-Yvette, Essonne ; 1974-....)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Informatique et sciences du numérique (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Philippe Ciuciu
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Angélique Drémeau, Jean-François Giovannelli, Sandrine Anthoine
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Angélique Drémeau, Jean-François Giovannelli

Mots clés

Mots clés contrôlés

Représentation parcimonieuse

Algorithmes EM

Estimation de paramètres

Problèmes inverses

Traitement du signal -- Techniques numériques

Mots clés libres

Problèmes inverses

Parcimonie

Bernoulli-Gaussien

Espérance-Maximisation

Inverse Problem

Sparsity

Bernoulli-Gaussian

Expectation-Minimization

Résumé

L'imagerie par Magnéto/Électro Encéphalographie (M/EEG) peut servir à reconstruire les foyers d'activité cérébrale en mesurant le champ Électro Magnétique produit par ce dernier. Même si le temps caractéristique des signaux enregistrés est assez faible pour pouvoir envisager un modèle linéaire d'acquisition, le nombre de sources possibles reste très large face au nombre de capteurs. De fait, il s'agit là d'un problème mal posé et de surcroît de grande dimension. Afin de se ramener dans le cadre d'un problème qui admet une hypothèse courante, et qui fait sens pour les neurones, est que les sources sont parcimonieuses i.e. que le nombre de valeurs non-nulles est très petit. On modélise alors le problème d'un point de vue probabiliste en utilisant une distribution a priori Bernoulli-Gaussien (BG) pour les sources. Il existe de nombreuses méthodes qui permettent de résoudre un tel problème, mais la plupart d'entre elles font appel à une connaissance des paramètres de la loi BG. L'objectif de cette thèse est de proposer une approche entièrement non-supervisée qui permet d'estimer les paramètres de la loi BG ainsi que d'estimer les sources si possible. Pour ce faire les algorithmes d'Espérance-Maximisation (EM) sont explorés. Dans un premier temps, le cas le plus simple est traité : celui du débruitage où l'opérateur linéaire est l'identité. Dans ce cadre trois algorithmes sont proposés : Une méthode des Moments basée sur la statistique des données, un EM et un algorithme d'estimation jointe des sources et des paramètres. Les résultats montrent que l'EM initialisé par la méthode des Moments est le meilleur candidat pour l'estimation des paramètres. Dans un second temps, les résultats précédents sont étendus au cas général d'opérateurs linéaires quelconques grâce à l'introduction d'une variable latente. Cette variable, en découplant les sources des observations, permet de dériver des algorithmes dit 'latents' qui alternent entre une étape de descente de gradient et une étape de débruitage qui correspond exactement au problème traité précédemment. Les résultats montrent alors que la stratégie la plus efficace est l'utilisation de l'estimation jointe 'latente' qui initialise l'EM 'latent'. Enfin, la dernière partie de ces travaux est consacrée à des considérations théoriques concernant les choix d'estimateurs joints ou marginaux du support et/ou des sources dans le cas supervisé. Ces travaux montrent que l'on peut encadrer les fonctions de coûts associées aux problèmes marginaux par celles associées à des problèmes joints grâce à une reparamétrisation du problème. Cela permet alors de proposer une stratégie générale d'estimation basée sur l'initialisation d'algorithmes d'estimation marginale par des algorithmes d'estimation jointe.

Magneto/Electro Encephalography (M/EEG) imaging can be used to reconstruct focal points of cerebral activity by measuring the Electro Magnetic field produced by it. Even if the characteristic time of the recorded signals is low enough to be able to consider a linear acquisition model, the number of possible sources remains very large compared to the number of sensors. In fact, this is an ill-posed and, moreover, a large-scale problem. In order to reduce it to a 'well-posed' problem, a common assumption, and which makes sense for neurons, is that the sources are sparse i.e. that the number of non-zero values is very small. We then model the problem from a probabilistic point of view using a Bernoulli-Gaussian (BG) a priori for the sources. There are many methods that can solve such a problem, but most of them require knowledge of the parameters of the BG law. The objective of this thesis is to propose a completely unsupervised approach which allows to estimate the parameters of the BG law as well as to estimate the sources if possible. To do this, Expectation-Minimization (EM) algorithms are explored. First, the simplest case is treated: that of denoising where the linear operator is the identity. In this framework, three algorithms are proposed: A Moments method based on data statistics, an EM and a joint estimation algorithm for sources and parameters. The results show that the EM initialized by the Method of Moments is the best candidate for parameter estimation. Secondly, the previous results are extended to the general case of any linear operator thanks to the introduction of a latent variable. This variable, by decoupling the sources from the observations, makes it possible to derive so-called 'latent' algorithms which alternate between a gradient descent step and a denoising step which corresponds exactly to the problem dealt with previously. The results then show that the most effective strategy is the use of the 'latent' joint estimate which initializes the 'latent' EM. Finally, the last part of this work is devoted to theoretical considerations concerning the choice of joint or marginal estimators in the supervised case. In particular with regard to the sources and their supports. This work shows that it is possible to frame marginal problems by joint problems thanks to a reparameterization of the problem. This then makes it possible to propose a general estimation strategy based on the initialization of marginal estimation algorithms by joint estimation algorithms.