Incertitude et stabilité de modèles en finance

Model Uncertainty and Model Stability in Finance

• Auteur / Autrice : Massinissa Ferhoune
• Direction : Laurence Carassus
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : MA - Mathématiques Appliquées
• Date : Soutenance le 13/12/2023
• Etablissement(s) : Reims
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Sciences du Numérique et de l’Ingénieur (Reims, Marne)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : (LMR) Laboratoire de Mathématiques de Reims
• Jury : Président / Présidente : Bruno Bouchard-Denize
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laurence Carassus, Miklós Rásonyi, Laurent Denis, Johannes Wiesel, Huyên Pham
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Miklós Rásonyi, Laurent Denis

Mots clés

Mots clés contrôlés

Instruments dérivés (finances)

Mathématiques financières

Marché financier

Bourse

Mots clés libres

Fonctions d'utilité

Croyances multiples

Probabilités

Théorie de la mesure

Stabilité

Mathématiques financières

Utility function

Multiple-Priors

Probability

Measure theory

Stability

Mathematical Finance

Résumé

Les travaux portent sur des questions de mathématiques financières en lien avec des problèmes de maximisation d'espérance d’utilité. La première partie de la thèse propose une étude du prix de réservation d'un produit dérivé basé sur un actif illiquide, dans le cas où l'acheteur ou le vendeur de ce dernier a la possibilité de se couvrir avec un autre actif liquide. La dynamique de ces actifs est décrite par deux mouvements browniens géométriques. L'investisseur fait ces choix à l'aide d'une fonction d'utilité exponentielle. Dans ce contexte, le prix a une expression semi-fermée qui peut être estimée à l'aide d'une méthode de Monte-Carlo. Cependant, la variance de l'estimateur associé est souvent trop importante pour un nombre raisonnable de simulations. Une nouvelle méthode numérique est donc proposée. En outre, pour un acheteur d'actions illiquides, des approximations fiables du prix et de la stratégie d'investissement optimale, exploitant la fonction spéciale de Lambert, sont également données. Une méthode de sélection d'un actif de couverture conduisant au portefeuille de couverture le moins fluctuant, est enfin suggérée. Le reste de la thèse est consacré au problème d'existence d'une stratégie d'investissement optimale pour un investisseur confronté à l'incertitude Knightienne : il ne connait pas la véritable loi de probabilité de la nature mais dispose d'un ensemble de lois de probabilités (non nécessairement dominée) représentant ses croyances. Concrètement, des conditions générales sur le marché ainsi que sur la fonction d'utilité de l'investisseur sont déterminées, pour lesquelles l'existence d'une solution à un problème de maximisation d'espérance d'utilité, sous la plus défavorable de ses croyances, est garantie. Notamment, la fonction d'utilité est supposée aléatoire, définie sur toutes la droite réelle, et des contraintes bilatérales sur son élasticité asymptotique sont également imposées. Le marché financier en temps discret est supposé satisfaire la condition de non-arbitrage "quasi-sure", qui a la particularité de permettre l'existence de croyances arbitrables. Dans la deuxième partie de la thèse, la fonction d'utilité est également supposée concave et borélienne. L’incertitude de modèle est modélisée par un ensemble de probabilités dont les graphes des lois conditionnelles entre les instants successifs sont supposés analytiques: hypothèse garantissant que ces probabilités peuvent être exprimées comme un produit de probabilités conditionnelles entre différents instants, et permettant l'application d'un théorème de sélection mesurable. La construction de la stratégie d'investissement optimale se fait ensuite par programmation dynamique. Dans la troisième partie de la thèse, la contrainte de concavité est relaxée, la fonction d'utilité est supposée être projectivement mesurable et les graphes de loi conditionnelle entre les instants successifs sont maintenant supposés être projectifs. Les ensembles projectifs sont une généralisation des ensembles analytiques. Pour cela, il a fallu ajouter un axiome à la théorie usuelle des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec Axiome du Choix (ZFC): l'axiome de détermination projective. Il stipule que certains jeux de Gale-Stewart se déroulant sur des ensembles projectifs sont déterminés. Cet axiome est également un axiome de grand cardinaux ou axiome de l'infini généralisé. Sous cet axiome, les ensembles projectifs sont universellement mesurables et il existe un théorème de sélection mesurable. L'approche de la programmation dynamique reste donc possible et est également utilisée pour produire la stratégie d'investissement optimale.

This thesis focuses on financial mathematics problems related to expected utility maximization. The first part of the thesis proposes a study of the reservation price of a derivative based on an illiquid asset, in the case where its buyer or seller has the possibility to cover himself with another liquid asset. The dynamics of these assets are described by two geometric Brownian motions. The investor is assumed to have an exponential utility function. In this context, the price has a semi-closed expression that can be estimated using a Monte Carlo method. However, the variance of the associated estimator is often too large for a reasonable number of simulations. A new numerical method is therefore proposed. In addition, reliable approximations of the price and the optimal investment strategy for a buyer of illiquid stocks, using the Lambert W function, are also given. A method for selecting a hedging asset, which leads to the least fluctuating hedging portfolio, is also suggested. The rest of the thesis is devoted to the problem of finding an optimal investment strategy for an investor faced with Knightian uncertainty: he has no knowledge of the probability law of nature, but has a set of probability laws (not necessarily dominated) that are his beliefs. In concrete terms, general market conditions and assumptions about the utility function of the investor are determined, for which the existence of a solution to a utility maximization problem, under the most unfavorable of his beliefs, is guaranteed. In particular, the utility function is assumed to be random, defined on the whole real line, and bilateral constraints are imposed on its asymptotic elasticity. The discrete-time financial market is assumed to satisfy the "quasi-sure" non-arbitrage condition, which has the particularity of allowing the existence of arbitrable beliefs. In the second part of the thesis, the utility function is also assumed to be concave and Borel-measurable. The model uncertainty is modeled by a set of probability measures such that the graphs of the conditional laws between successive instants are assumed to be analytic sets: this guarantees that these probability measures can be expressed as a product of conditional probability measures between different instants, and allows the application of a measurable selection theorem. The optimal investment strategy is then constructed using dynamic programming. In the third part of the thesis, the concavity constraint is relaxed, the utility function is assumed to be projectively measurable and the graphs of the conditional laws between successive instants are now assumed to be projective sets. Projective sets are a generalization of analytic sets. To achieve this, it was necessary to add an axiom to the usual Zermelo-Fraenkel set theory with Choice (ZFC): the axiom of projective determinacy. It states that certain Gale-Stewart games on projective sets are determined. It can also be shown to be a large cardinal axiom. Under this axiom, the projective sets are universally measurable, and measurable selection can still be performed. Thus, the dynamic programming approach remains possible and is also used to find the optimal investment strategy.