Équations de Saint-Venant avec effets rotatifs et thermiques : aspects théoriques et schémas numériques

Thermal rotating shallow water equations : theoretical aspects and numerical schemes

• Auteur / Autrice : Alice Masset
• Direction : Olivier Goubet, Vivien Desveaux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 07/12/2022
• Etablissement(s) : Amiens
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire amiénois de mathématique fondamentale et appliquée
• Jury : Président / Présidente : Paul Vigneaux
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nabil Bedjaoui, Nina Aguillon, Christophe Chalons
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Carine Lucas, Nicolas Seguin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Volumes finis, Méthodes de

Coriolis, Force de

Écoulement (hydrologie)

Mots clés libres

Ecoulements géophysiques

Equations de Saint-Venant

EDP hyperboliques

Schémas complètement équilibre

Geophysic flows

Shallow water equations

Hyperbolic PDE

Finite volume method

Fully well-Balanced scheme

Résumé

Dans cette thèse, on étudie de façon théorique et numérique le système des équations de Saint-Venant en prenant en compte la force de Coriolis et les effets thermiques. La première partie est dédiée à la dérivation du modèle à partir des équations primitives, et à l'étude générale de ses propriétés. Dans la deuxième partie, on s'intéresse au problème de Cauchy, i.e à la question de l'existence et de l'unicité d'une solution des équations. Pour cela, on propose d'utiliser deux techniques de démonstration : l'une fondée sur l'ajout d'un terme diffusif, l'autre utilisant une suite de problèmes hyperboliques linéaires à résoudre. On étudie plus en détail les méthodes de symétrisation qui permettent d'établir des estimations a priori indispensables pour obtenir la régularité souhaitée de la solution. Sur le plan numérique, l'objectif majeur consiste à préserver les états stationnaires du modèle en proposant des schémas dits well-balanced. C'est l'objet de la troisième partie. On commence par rappeler le principe des schémas de type Godunov pour des systèmes hyperboliques 1D avec terme source. On propose ensuite une stratégie de construction de solveurs de Riemann approchés, qui aboutit à l'obtention de trois schémas préservant toutes les solutions stationnaires. On considère également une méthode de montée en ordre pour améliorer leur précision. De nombreux cas-test sont proposés pour valider la prise en compte de chacune des spécificité du modèle, et comparer les performances des schémas. Enfin, le dernier chapitre concerne l'extension de ces schémas en deux dimensions d'espace, toujours avec l'objectif de préserver le maximum d'états stationnaires. Là encore, une meilleure précision est obtenue en augmentant l'ordre des schémas, et des exemples numériques viennent illustrer leurs propriétés

In this thesis, we focus on theoretical and numerical aspects of the thermal rotating shallow water (TRSW) model. The first part is dedicated to the derivation of the model from the primitive equations and to the study of its properties. In the second part, we consider the initial value problem related to the TRSW model. We handle the IVP with two different proofs : the first one consists in adding a diffusion term to the system, and the second one is based on a sequence of linear hyperbolic systems to solve. Several symmetrisation techniques allow us to get the essential a priori estimates. From a numerical point of view, the main goal is to build well-balanced schemes that preserve as many stationary solutions as possible. This problem is handled in the third part. We start by recalling the Godunov-type schemes principle for 1D hyperbolic systems with source terms. Next, we present a general strategy to build approximate Riemann solvers that leads to three fully well-balanced schemes that preserve all steady states. We also consider a second-order extension procedure to improve their accuracy. Many test cases are used to validate the behaviour of the schemes on various situations and to compare them. Finally, the last chapter provides a two-dimensional extension in space of the previous schemes, always with the main objective to preserve the maximum of steady states. Here again, a better accuracy is obtained with a second-order extension, and numerical tests show their good properties