Thèse en cours

Alignement des concepts et des logiques entre systèmes de preuves

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Auteur / Autrice : Emilie Del prete grienenberger
Direction : Gilles Dowek
Type : Projet de thèse
Discipline(s) : Informatique
Date : Inscription en doctorat le 01/10/2019
Etablissement(s) : université Paris-Saclay
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Orsay, Essonne ; 2015-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Méthodes Formelles
référent : Ecole Normale Supérieure Paris-Saclay

Mots clés

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Résumé

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Les preuves formelles sont un outil essentiel en sûreté et en sécurité, comme le montre leur utilisation dans plusieurs projets industriels tels la ligne 14 du métro parisien, le système d'exploitation certifié seL4 ou le compilateur C certifié CompCert. Le développement des ces preuves, aussi bien dans le cadre de la sûreté et de la sécurité qu'en mathématiques pures, a mené à la construction de grandes bibliothèques, représentant des millions d'heures de travail. Ces bibliothèques pourraient cependant être rendues plus utilisables et plus durables. En effet, aujourd'hui chaque bibliothèque est spécifique a un système de preuves particulier, et leur interopérabilité est faible. Une manière de remédier à cette situation est de développer des encyclopédies de preuves formelles exprimées dans plusieurs théories et des algorithmes permettant de traduire ces preuves d'une théorie à l'autre. C'est l'objet du projet Logipedia, une encyclopédie de preuves formelles développées dans diverses théories, elles-mêmes exprimées dans le cadre logique Dedukti. La constitution d'une encyclopédie de preuves formelles à partir de différentes bibliothèques provenant de différents systèmes, soulève cependant un certain nombre de questions scientifiques : les notions de nombre entier, de nombre réel, de graphe, et même de connecteurs logiques et de quantificateurs, peuvent être définies de manière différente et il est nécessaire, lors de la constitution d'une encyclopédie, d'{em aligner les concepts}, c'est-à-dire de repérer des homologies entre définitions et entre théorèmes et d'unifier les concepts homologues. Ce projet se décline en plusieurs axes de recherche. Morphismes entre structures Quand deux structures sont isomorphes --- ou simplement homomorphes --- il est possible, dans certains cas, de transporter un théorème et sa preuve d'une structure à une autre. Par exemple, l'isomorphisme entre les différentes constructions du corps des nombre réels permet de transporter le théorème de commutativité de l'addition, ou le théorème des valeurs intermédiaires, d'une structure à l'autre. Connecteurs et quantificateurs classiques et constructifs Les connecteurs logiques --- conjonction, disjonction, négation... --- et les quantificateurs sont définis de manière différente dans différents systèmes, mais ces différentes définitions sont en général isomorphes, ce qui permet de transporter une définition sur une autre. Toutefois, certains systèmes utilisant des connecteurs et des quantificateurs classiques --- HOL Light, PVS, Mizar... --- et d'autres constructifs --- Coq, Matita, Lean, Agda... --- il importe de faire coexister ces différents symboles dans une même logique, c'est-à-dire de construire une logique et démontrer qu'elle a deux fragments qui correspondent aux logiques classique et constructive. Cela mène à la question de l'alignement partiel des notions classiques avec les notions constructives, c'est-à-dire au développement d'algorithmes de constructivisation des preuves. Théorie des types et théories des ensembles Enfin, certaines bibliothèques --- celles de Coq, HOL Light, PVS... --- sont développées dans diverses formes de la théorie des types et d'autres dans diverses formes de la théorie des ensembles --- par exemple, la bibliothèque de Mizar. Il est nécessaire de comprendre comment traduire dans une autre, des preuves développées dans l'une de ces théories.