Logiques et Algorithmes pour de mineurs de graphes

Logics and Algorithms for Graph Minors

• Auteur / Autrice : Giannos Stamoulis
• Direction : Ignasi Sau Valls, Dimitrios M. Thilikos
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 12/12/2023
• Etablissement(s) : Université de Montpellier (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'informatique, de robotique et de micro-électronique (Montpellier ; 1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Département Informatique
• Jury : Président / Présidente : Pierre Fraigniaud
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ignasi Sau, Anuj Dawar, Marcin Pilipczuk, Dimitrios Thilikos touloupas, Eun Jung Kim, Frédéric Havet
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Anuj Dawar, Marcin Pilipczuk

Mots clés

Mots clés libres

Théorie des graphes

Algorithmes des graphes

Mineurs des graphes

Algorithmes parametrés

Méta-théorèmes algorithmiques

Graph Theory

Graph Algorithms

Graph Minors

Parameterized Algorithms

Algorithmic Meta-theorems

Résumé

Dans cette thèse, nous fournissons un cadre méta-algorithmique capitalisant sur les conséquences algorithmiques de la série séminale des articles de Robertson et Seymour traitant les mineurs des graphes. Notre perspective méta-algorithmique consiste en la preuve de méta-théorèmes algorithmiques, qui fournissent des conditions mathématiques générales permettant la dérivation automatique d’algorithmes efficaces. De tels théorèmes comportent généralement deux types de conditions, une logique et une combinatoire, de sorte que tout problème exprimable dans le cadre de la condition logique peut être résolu efficacement, sous une définition appropriée de ce terme, lorsque ses entrées sont limitées par la condition combinatoire. Les méta-théorèmes algorithmiques démontrés dans cette thèse peuvent être résumés en deux résultats principaux. Tout d’abord, nous considérons la logique des chemins disjoints, qui est une extension de la logique du premier ordre avec des prédicats atomiques supplémentaires qui expriment l’existence de chemins disjoints entre sommets. Nous montrons que les problèmes définissables dans la logique des chemins disjoints peuvent être résolus en temps cubique sur des graphes qui excluent certains graphes fixes comme mineurs topologiques. Nous définissons également un cadre de logiques composées, qui modélisent le schéma modulateur/cible de divers aspects des problèmes de modification de graphes. Notre deuxième méta-théorème algorithmique concerne des problèmes définissables dans la logique composée obtenue en combinant, du coté de la cible, la puissance expressive de la logique des chemins disjoints, et du coté du modulateur, la logique monadique du second ordre. Pour de tels problèmes, nous montrons qu’ils peuvent être résolus en temps quadratique sur des graphes qui excluent certains graphes fixes comme mineurs. Les résultats obtenus et leurs preuves peuvent être interprétés comme une méta-algorithmisation de l’applicabilité du théorème du mur plat et de la technique du sommet non pertinent pour de grandes familles de problèmes de routage et de modification de graphes. Pour prouver nos méta-théorèmes algorithmiques, nous développons un cadre combinatoire et algorithmique composé de nouvelles variantes et améliorations du théorème du mur plat et du théorème de liaison unique, permettant leur application et leur adaptation dans un contexte méta-algorithmique. Nous dérivons aussi une borne supérieure sur le nombre de sommets des obstructions mineures des k-apices des classes de graphes closes par mineurs. Nous considérons également deux méta-problèmes qui sont englobés dans notre cadre méta- algorithmique : les problèmes de F-Mineur-Suppression et de F-Mineur Topologique-Suppression, où, étant donné un ensemble de graphes F, un graphe G et un entier k, nous demandons si nous pouvons supprimer au plus k sommets de G de telle sorte que le graphe restant ne contienne aucun graphe de F en tant que mineur ou en tant que mineur topologique, respectivement. Pour ces deux problèmes, nous obtenons des algorithmes améliorés les résolvant respectivement sur des graphes généraux et sur des graphes plongables sur une surface de genre fixe.

In this work, we provide a meta-algorithmic framework capitalizing on the algorithmic consequences of the seminal Graph Minors series of Robertson and Seymour. Our meta-algorithmic perspective consists in the proof of algorithmic meta-theorems, that provide general mathematical conditions that allow the automatic derivation of efficient algorithms. Such theorems typically provide two types of conditions, a logical one and a combinatorial one, such that every problem that is expressible by the logical condition can be solved efficiently, under some suitable definition of this term, when its inputs are restricted by the combinatorial condition. The algorithmic meta-theorems proved in this thesis can be summarized in two main results. First, we consider the Disjoint-paths logic, which is an extension of First-Order logic with extra atomic predicates that express the existence of vertex-disjoint paths between vertices. We show that problems definable in the Disjoint-paths logic can be solved in cubic time on graphs that exclude some fixed graph as a topological minor. Also, we define a framework of compound logics, which model the modulator/target scheme of various aspects of graph modification problems. Our second algorithmic meta-theorem concerns problems that are definable in the compound logic obtained by combining the expressive power of the Disjoint-paths logic in the target and the Monadic Second-Order logic in the modulator. For such problems, we show that they can be solved in quadratic time on graphs that exclude some fixed graph as a minor. The obtained results and their proofs can be interpreted as a meta-algorithmization of the applicability of the Flat Wall Theorem and the irrelevant vertex technique for large families of graph modification problems and path routing problems. To prove our algorithmic meta-theorems, we develop a combinatorial and algorithmic frame- work consisting in novel variants and enhancements of the Flat Wall Theorem and the Unique Linkage Theorem, allowing their application and adaptation in a meta-algorithmic context. As a byproduct, we obtain an upper-bound on the number of vertices of the minor-obstructions of k-apices of minor-closed graph class. Also, we consider two meta-problems that are encompassed by our meta-algorithmic frame- work: the F-Minor-Deletion problem and F-Topological Minor-Deletion problem, where, given a set of graphs F, a graph G, and an integer k, we ask whether we can remove at most k vertices from G such that the remaining graph does not contain any graph of F as a minor or as a topological minor, respectively. For these two problems, we obtain improved algorithms solving them on general graphs and on graphs embeddable on a fixed Euler genus surface, respectively.