Aspects linéaires et non-linéaires en géométrie asymptotique des espaces de Banach

Linear and non-linear aspects in asymptotic geometry of Banach spaces

• Auteur / Autrice : Audrey Fovelle
• Direction : Gilles Lancien
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/07/2023
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) - Laboratoire de Mathématiques de Besançon (UMR 6623) / LMB
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Franche-Comté (1971-....)
• Jury : Président / Présidente : Isabelle Chalendar
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Antonín Procházka, Eva Pernecká
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Thomas Schlumprecht, Étienne Matheron

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de Banach

Mots clés libres

Géométrie non-Linéaire

Lissité asymptotique

Graphes de Hamming

Types asymptotiques

Nonlinear geometry

Asymptotic smoothness

Banach spaces

Hamming graphs

Asymptotic types

Résumé

Le but de cette thèse est d'étudier la géométrie linéaire et non-linéaire des espaces de Banach. Elle est composée de quatre chapitres et deux annexes. Dans le premier chapitre, nous définissons certaines applications non-linéaires et nous décrivons en détails quatre propriétés différentes ayant pour sujet la lissité uniforme asymptotique des espaces de Banach, notées textsf{T}_p, textsf{A}_p, textsf{N}_p, et textsf{P}_p, en insistant sur les caractérisations par renormage. Dans le deuxième, nous étudions essentiellement des propriétés de concentration pour des applications lipschitziennes définies sur les graphes de Hamming, ainsi que leur stabilité par sommes d'espaces de Banach afin de construire des premiers exemples d'espaces qui ne sont pas quasi-réflexifs mais admettent néanmoins une inégalité de concentration.Le troisième chapitre est en deux parties. Une première est consacrée à l'étude du problème des trois-espaces pour textsf{T}_p, textsf{A}_p, textsf{N}_p, et textsf{P}_p. La deuxième est dédiée à de nouveaux résultats de rigidité grossièrement Lipschitz. Dans le dernier chapitre, nous introduisons un analogue asymptotique de la Beck convexité et prouvons que sa caractérisation en termes de types linéaires et représentabilité finie de ell_1 dans la théorie locale reste vraie dans le cadre asymptotique.

The goal of this thesis is to study linear and non-linear geometry of Banach spaces. It is composed of four chapters and two appendices.In the first chapter, we define some non-linear maps and we describe in details four different properties dealing with the asymptotic uniform smoothness of Banach spaces, denoted textsf{T}_p, textsf{A}_p, textsf{N}_p, and textsf{P}_p, insisting on the renorming characterizations.In the second one, we mostly study some concentration properties for Lipschitz maps defined on Hamming graphs, as well as their stability under sums of Banach spaces in order to construct the first examples of spaces that are not quasi-reflexive but nevertheless admit some concentration inequality.The third chapter is in two parts. The first one is devoted to the study of the three-space problem for textsf{T}_p, textsf{A}_p, textsf{N}_p, and textsf{P}_p. The second one is dedicated to new coarse-Lipschitz rigidity results. In the final chapter, we introduce an asymptotic analogue of Beck convexity and prove that its characterization in terms of linear types and finite representability of ell_1 in the local theory stays true in the asymptotic setting.