Questions d'équirépartition de sommes de Kloosterman

par Théo Untrau

Projet de thèse en Mathématiques Pures

Sous la direction de Guillaume Ricotta et de Florent Jouve.

Thèses en préparation à Bordeaux , dans le cadre de École doctorale de mathématiques et informatique , en partenariat avec IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux (laboratoire) et de Théorie des Nombres (equipe de recherche) depuis le 31-08-2020 .


  • Résumé

    Les sommes de Kloosterman classiques apparaissent naturellement dans les coefficients de Fourier des séries de Poincaré de GL(2). Ces sommes, apparaissant également dans de nombreuses formules de trace, jouent un rôle primordial en théorie des nombres et y ont de nombreuses applications. Par exemple, elles permettent de mieux comprendre à plusieurs points de vue les coefficients de Fourier des formes modulaires dans lesquels l'information arithmétique repose ainsi que la taille des fonctions L associées à ces formes modulaires. Des propriété de multiplicativité tordue permettent essentiellement de restreindre leur étude au cas où le module de ces sommes est une puissance d'un nombre premier. Une dichotomie naturelle intervient immédiatement. Lorsque le module est un nombre premier, ces sommes exponentielles doivent être vues comme des sommes sur des corps finis. Les étudier requiert toute une machinerie algebraico-géométrique profonde. Ces sommes sont la trace d'un faisceau l-adique à savoir le célèbre faisceau de Kloosterman construit par Deligne et étudié en détail par Katz. Lorsque le module est une puissance non-triviale d'un nombre premier, ces sommes doivent être vues comme des sommes de caractère de module une puissance non-triviale d'un nombre premier. Les étudier requiert des techniques dites élémentaires, ce qui ne signifie pas que ces techniques soient simples mais insiste plutôt sur le fait que la géométrie algébrique n'y joue pas de rôle. Il est même possible de trouver des formules explicites pour ces sommes à l'aide de la méthode de la phase stationnaire p-adique. Ces sommes de Kloosterman classiques admettent une généralisation en rang supérieur. Les mêmes remarques faites précédemment pour les sommes de Kloosterman classiques se généralisent pour les sommes de Kloosterman en rang supérieur. L'objectif de cette thèse est de s'intéresser à une collection de problèmes d'équirépartition de telles sommes de Kloosterman. Afin d'éviter de rentrer dans des formulations trop formelles, trois exemples significatifs sont décrits dans le fichier .pdf détaillant le sujet qui font intervenir une hypocycloide, un disque et une hypotrochoide. Il s'agit de trouver un cadre formel à ces différentes questions et d'étudier les questions d'équirépartition qui en découlent. Bien entendu, ces questions peuvent également se poser pour d'autres types de sommes exponentielles.

  • Titre traduit

    Equidistribution questions of Kloosterman sums


  • Résumé

    Classical Kloosterman sums appear naturally in the Fourier coefficients of the Poincaré series of GL(2). These sums, also appearing in many trace formulas, play a primordial role in number theory and have many applications there. For example, they allow a better understanding from several points of view of the Fourier coefficients of the modular forms in which the arithmetic information is based as well as the size of the L-functions associated to these modular forms. Twisted multiplicative properties essentially allow to restrict their study in case the module of these sums is a power of a prime number. A natural dichotomy occurs immediately. When the module is a prime number, these exponential sums must be seen as sums over finite fields. Studying them requires a whole deep algebraic-geometric machinery. These sums are the trace of an l-adic sheaf, namely the famous Kloosterman sheaf built by Deligne and studied in detail by Katz. When the module is a non-trivial power of a prime number, these sums must be seen as sums of character of module a non-trivial power of a prime number. Studying them requires so-called elementary techniques, which does not mean that these techniques are simple but rather insists that algebraic geometry does not play a role. It is even possible to find explicit formulas for these sums using the p-adic stationary phase method. These classical Kloosterman sums admit a generalization in higher rank . The same remarks made previously for the classical Kloosterman sums are generalized for the higher rank Kloosterman sums. The objective of this thesis is to focus on a collection of problems of equidistribution results of such sums. In order to avoid entering formulations too formal, three significant examples are described in the .pdf file detailing the subject which involve a hypocycloide, a disc and a hypotrochoide. The aim is to find a formal framework for these different questions and to study the questions of equidistribution which arise from them. Of course, these questions can also arise for other types of exponential sums.