Méthode bootstrap en physique théorique

Bootstrap Method in Theoretical Physics

• Auteur / Autrice : Zechuan Zheng
• Direction : Vladimir Kazakov, Miguel Fernandes paulos
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Physique
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 15/09/2023
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Physique en Île-de-France (Paris ; 2014-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Physique de l'École normale supérieure
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École normale supérieure (Paris ; 1985-....)
• Jury : Président / Présidente : Alice Guionnet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Vladimir Kazakov, Miguel Paulos, Alexander Zhiboedov, Agnese Bissi, Alexander Migdal
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Alexander Zhiboedov, Agnese Bissi

Mots clés

Mots clés libres

Méthode bootstrap

Modeles des matrices

Théorie des champs conforme

Bootstrap Method

Matrix models

Conformal Field Theory

Résumé

Dans le domaine de la physique contemporaine, la méthode bootstrap est généralement associée à une approche basée sur l’optimisation pour résoudre des problèmes. Cette méthode exploite notre compréhension d’un problème physique spécifique, utilisée comme les contraintes pour le problème d’optimisation, afin de délimiter la région autorisée de notre théorie physique. Notamment, cette méthode donne souvent non seulement des limites numériques précises pour les quantités physiques mais offre également des perspectives théoriques sur la nature du problème en question. La méthode numérique bootstrap moderne a connu son plus grand succès dans les domaines de la théorie des champs conformes (via le bootstrap conforme) et de l’amplitude de dispersion (à travers le bootstrap de la matrice S). Cette thèse présente l’application de la méthode bootstrap aux modèles matriciels (matrices aléatoires), à la théorie de Yang-Mills et à la théorie des champs conformes. Nous commencerons par un examen des éléments fondamentaux de ces théories. Ensuite, nous nous plongerons dans les études bootstrap de ces modèles. Nous proposons une méthode bootstrap de relaxation améliorée pour la résolution numérique de modèles multi-matriciels à la limite de N grand. Cette méthode fournit des inégalités rigoureuses sur les moments de trace simple des matrices jusqu’à un ordre “coupure” spécifié des moments. Nous avons une preuve rigoureuse de l’applicabilité de cette méthode dans le cas du modèle à une matrice. Nous démontrons l’efficacité numérique de notre méthode en résolvant le modèle à deux matrices analytiquement “insolvable” avec une interaction tr[A, B]² et des potentiels quartiques. Nous étendons ensuite notre étude à la théorie de Yang-Mills sur réseau aux dimensions 2, 3 et 4 en utilisant la méthode numérique bootstrap. Notre approche combine des équations de boucle, avec une coupure sur la longueur maximale des boucles, et des conditions de positivité sur certaines matrices de moyennes de boucles de Wilson. Nos résultats suggèrent que cette approche bootstrap peut offrir une alternative tangible à l’approche de Monte Carlo, jusqu’à présent incontestée. Nous explorons le problème de la mise en limite des corrélateurs CFT dans la section euclidienne. En reformulant la question comme un problème d’optimisation, nous construisons numériquement des fonctionnelles qui déterminent des limites supérieures et inférieures sur les corrélateurs dans plusieurs circonstances. Notre analyse révèle que le corrélateur d’Ising 3d prend les valeurs minimales possibles autorisées dans la section euclidienne. Nous découvrons également un intrigant CFT 3d qui sature les limites de l’écart, de la maximisation OPE et des valeurs des corrélateurs.

In the realm of contemporary physics, the bootstrap method is typically associated with an optimization-based approach to problem-solving. This method leverages our understanding of a specific physical problem, which is used as the constraints for the optimization problem, to carve out the allowed region of our physical theory. Notably, this method often yields not only precise numerical bounds for physical quantities but also offers theoretical insights into the nature of the problem at hand. The modern numerical bootstrap method has seen its greatest success in the fields of conformal field theory (via the conformal bootstrap) and Scattering amplitude (through the S-matrix bootstrap). This dissertation presents the application of the bootstrap method to matrix models (random matrices), Yang-Mills theory, and conformal field theory. We will commence with a review of the fundamental elements of these theories. Following this, we will delve into the bootstrap studies of these models. We propose an enhanced relaxation bootstrap method for the numerical resolution of multi-matrix models in the large N limit. This method provides rigorous inequalities on the single trace moments of the matrices up to a specified “cutoff” order of the moments. We have rigorous proof of the applicability of this method in the case of the one-matrix model. We demonstrate the numerical efficiency of our method by solving the analytically “unsolvable” two-matrix model with tr[A, B]² interaction and quartic potentials. We further extend our study to the lattice Yang-Mills theory at dimensions 2, 3, and 4 using the numerical bootstrap method. Our approach combines loop equations, with a cutoff on the maximal length of loops, and positivity conditions on certain matrices of Wilson loop averages. Our results suggest that this bootstrap approach can provide a tangible alternative to the, so far uncontested, Monte Carlo approach. We explore the problem of bounding CFT correlators in the Euclidean section. By reformulating the question as an optimization problem, we construct functionals numerically which determine upper and lower bounds on correlators under several circumstances. Our analysis reveals that the 3d Ising correlator takes the minimal possible allowed values on the Euclidean section. We also uncover an intriguing 3d CFT that saturates gap, OPE maximization, and correlator value bounds.