Etude de deux modèles simplifiés de turbulence à l'aide du groupe de renormalisation fonctionnel : l'équation de Burgers et le modèle de Sabra

A study of two simplified models of fluid turbulence with the functional renormalisation group : the Burgers equation and the Sabra shell model

• Auteur / Autrice : Côme Fontaine
• Direction : Léonie Canet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique théorique
• Date : Soutenance le 19/12/2023
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale physique (Grenoble, Isère, France ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de physique et modélisation des milieux condensés (Grenoble ; 1990-....)
• Jury : Président / Présidente : Bertrand Delamotte
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frédéric Faure, Andrei A. Fedorenko, Eric Bertin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bertrand Delamotte, Stefan Floerchinger

Mots clés

Mots clés contrôlés

Turbulence

Groupe de renormalisation

Mots clés libres

Groupe de renormalisation fonctionnel

Turbulence

Approche statistique de la mécanique des fluides

Équation de Burgers

Modèle de Sabra

Functional renormalisation group

Turbulence

Statistical approach to fluid mechanics

Burgers equation

Sabra shell model

Résumé

Dans cette thèse nous nous intéressons à deux modèles simplifiés décrivant des écoulements turbulents. Dans ces deux modèles, la turbulence est caractérisée par l'invariance d'échelle et des propriétés statistiques universelles, comme observé pour la turbulence hydrodynamique réelle. Ce type de comportement est très familier en physique: il s'agit d'un système critique. Dans cette thèse, nous utilisons un outil très répandu pour l'étude de la criticalité: le groupe de renormalisation fonctionnel (FRG). Le premier modèle, nommé modèle de Sabra, décrit les interactions effectives entre un nombre discret de modes de vitesse d'un fluide turbulent. Cette description schématique conserve beacoup de propriétés essentielles de la turbulence. En particulier, le champ de vitesse est multi-fractal. La façon dont la dynamique engendre cette multi-fractalité est encore mal comprise d'un point de vue théorique. Dans cette thèse, nous formulons un flot de renormalisation inverse, c'est-à-dire intégrant les plus grandes échelles d'abord. Grâce à cette méthode, nous trouvons un point fixe du flot de renormalisation ayant une invariance d'échelle anormale, et relativement proche de la valeur attendue pour certaines observables. Nous montrons que ce point fixe diffère de celui obtenu lorsque toutes les échelles sont forcées, par un forçage avec un spectre en loi de puissance, qui correspond au point fixe du RG obtenu en théorie de perturbation. Le second modèle étudié est l'équation de Burgers, qui décrit la dynamique d'un fluide en l'absence de pression. Nous nous intéressons à l'effet d'un bruit conservatif sur le champ de vitesse. Nous prouvons l'existence d'un régime d'invariance d'échelle avec un exposant critique dynamique z=1 en utilisant une fermeture exacte de l'équation de flot de renormalisation. Cette fermeture est permise par l'existence de certaines symétries de l'équation de Burgers. Ce nouveau régime d'invariance d'échelle avait été observé auparavant dans des solutions numériques de l'équation de Burgers. Nous apportons dans cette thèse une preuve théorique de son existence, et calculons les propriétés universelles associées.

In this thesis, we focus on two simplified models describing turbulent flows. In these two models, the turbulent state exhibits scale-invariance and universal statistical properties resembling those of true hydrodynamical turbulence. This type of behaviour is very familiar in physics: it corresponds to a critical system. In this work, we use a widely used tool in the study of criticality: the functional renormalisation group (FRG). The first model, named the Sabra shell model, describes effective interactions among a discrete number of velocity modes of a turbulent fluid. This schematic description captures many essential properties of turbulent flows. In particular, the velocity field is multifractal. The way in which the dynamics generates this multifractality is still poorly understood from a theoretical perspective. In this thesis, we formulate a reverse renormalisation flow, meaning that we integrate out the largest scales first. Using this method, we find a fixed point of the renormalisation flow with anomalous scale invariance, relatively close to the expected value for certain observables. We show that it is clearly distinct from the fixed point obtained when all scales are forced, through a forcing with a power-law spectrum, which corresponds to the fixed point of the RG obtained in perturbation theory. The second model studied is the Burgers equation, which describes the dynamics of a fluid in the absence of pressure. We focus on the effect of a conservative noise on the velocity field. We prove the existence of a scale invariant regime with a critical dynamical exponent z=1 using an exact closure of the renormalisation flow equation. This closure relies on the existence of certain symmetries of the Burgers equation. Indications of the existence of this new scaling regime were previously found in numerical solutions of the Burgers equation. We provide in this thesis a theoretical proof of its existence and calculate the associated universal properties.