Forêts aléatoires couvrantes, dirigées et radiales, en espace hyperbolique

Directed and Radial Random Spanning Forests in Hyperbolic Spaces

• Auteur / Autrice : Lucas Flammant
• Direction : David Coupier, Viet Chí Tran
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 11/07/2022
• Etablissement(s) : Valenciennes, Université Polytechnique Hauts-de-France
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale polytechnique Hauts-de-France (Valenciennes, Nord ; 2021-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de matériaux céramiques et de mathématiques (Valenciennes, Nord ; 2021-....)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement délivrant conjointement le doctorat : Institut national des sciences appliquées Hauts-de-France (Valenciennes, Nord ; 2019-....)
• Jury : Président / Présidente : David Dereudre
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : David Coupier, Viet Chí Tran, Nathanaël Enriquez, Tobias Müller, Isabelle Massa-Turpin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Nathanaël Enriquez, Tobias Müller

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie stochastique

Géométrie hyperbolique

Mots clés libres

Percolation

Géométrie hyperbolique

Géométrie stochastique

Arbre aléatoire

Forêt couvrante dirigée

Forêt couvrante radiale

Branches semi-infinies

Transport de masse

Processus ponctuel de Poisson

Continuum percolation

Hyperbolic space

Stochastic geometry

Random geometric tree

Directed Spanning Forest

Mass Transport Principle

Poisson point processes

Résumé

Dans cette thèse, deux modèles d’arbres aléatoires géométriques couvrants en géométrie hyperbolique sont étudiés : la DSF (Directed Spanning Forest) et le RST (Radial Spanning Tree. Il s’agit de graphes alétoires construits à partir de processus ponctuels de Poisson dans l’espace hyperbolique Hd de dimension d≥2 et qui étendent la définition de la DSF et du RST proposée en Euclidien par Baccelli et Bordenave (2007). L’étude et les propriétés de ces objets sont, de manière générale, fondamentalement différentes entre les deux géométries. La DSF dans Rd est définie de la façon suivante. Tout point x du processus de Poisson est relié à son ancêtre, défini comme étant le point du processus de Poisson le plus proche de x parmi tous ceux qui se trouvent dans le demi-espace délimité par l’hyperplan passant par x et de normale une direction choisie. Pour définir la DSF dans Hd, on se donne un point à l’infini I (appartenant au bord ∂Hd). Chaque point x est relié au point du processus de Poisson le plus proche parmi tous ceux qui sont plus proches de I que x (au sens de l’horodistance). Le RST est un arbre radial qui peut quant à lui être défini à la fois dans Rd et Hd, par rapport à un point origine O. Il existe plusieurs définitions possible du RST dans Hd, mais l’une est naturellement associée à DSF hyperbolique et c’est celle que nous étudierons. Après une introduction au Chapitre 1, rappelant les motivations et présentant les principaux outils utilisés dans cette thèse, la DSF hyperbolique est étudiée au Chapitre 2. Nous décrivons précisément ses propriétés, qui diffèrent du cas Euclidien. En particulier, quelle que soit la dimension, la DSF hyperbolique est un arbre (toutes les trajectoires coalescent) qui contient une infinité de branches bi-infinies, dont nous étudions les directions asymptotiques. Les Chapitres 3 et 4 concernent le RST hyperbolique et l’étude de ses branches semi-infinies, en dimensions supérieures ou égales à d = 2. Presque sûrement, chaque branche semi-infinie admet une direction asymptotique et chaque angle est la direction asymptotique d’au moins une branche semi-infinie. La trajectoire semi-infinie du RST qui converge vers une direction déterministe donnée est unique presque sûrement. Cependant, l’ensemble des directions (aléatoires) qui sont les directions limites de plusieurs trajectoires semi-infinies du RST est dense dans ∂Hd et dénombrable en dimension d = 2. Nous montrons que le sous-ensemble de ∂Hd qui est constitué des directions asymptotiques atteintes par les trajectoires semi-infinies du RST passant par un point de Poisson z, est d’intérieur non vide. En dimension d = 2, cela signifie que presque sûrement, il n’existe pas de direction aléatoire qui soit limite de trois branches semi-infinies du RST. Ce résultat, souvent conjecturé pour les modèles d’arbres géométriques radiaux, n’avait été démontré à notre connaissance que dans un seul cas (pour un modèle de percolation de dernier passage).

In this thesis, two models of geometric spanning random trees in hyperbolic geometry are studied: the hyperbolic DSF (Directed Spanning Forest) and the hyperbolic RST (Radial Spanning Tree). These are random graphs constructed on Poisson point processes in the hyperbolic space Hd of dimension d≥2 and which extend the definition of the DSF and the RST proposed in the Euclidean setting by Baccelli and Bordenave (2007). The study and properties of these objects are, in general, fundamentally different between the two geometries. The DSF in Rd is defined as follows. Any point x of the Poisson process is linked to its ancestor, defined as the closest point of the Poisson process among all those lying in the half-space bounded by the hyperplane passing through x and of chosen normal direction. To define the hyperbolic DSF in Hd, we give ourselves a point at infinity I (belonging to the boundary ∂Hd). Each point x is connected to the nearest point of the Poisson process among all those which are closer to I than x (with respect to horodistances). The RST is a radial tree which can be defined in both Rd and Hd, relative to an origin O. There are several possible definitions of the hyperbolic RST in Hd, but one is naturally associated with the hyperbolic DSF and this is the one we will study. After an introduction in Chapter 1, recalling the motivations and presenting the main tools used in this thesis, the hyperbolic DSF is studied in Chapter 2. We describe precisely its properties, which differ from the Euclidean case. In particular, whatever the dimension, the hyperbolic DSF is a tree (all trajectories coalesce) that contains an infinite number of bi-infinite branches, of which we study the asymptotic directions. Chapters 3 and 4 deal with the hyperbolic RST and the study of its semi-infinite branches, in dimensions greater than or equal to d = 2. Almost certainly, each semi-infinite branch has an asymptotic direction and each angle is the asymptotic direction of at least one semi-infinite branch. The semi-infinite trajectory of the RST that converges to a given deterministic direction is almost certainly unique. However, the set of (random) directions that are the boundary directions of several semi-infinite RST trajectories is dense in ∂Hd and countable in dimension d = 2. We show that the subset of ∂Hd which consists of the asymptotic directions reached by the semi-infinite trajectories of the RST passing through a Poisson point z, has non-empty interior. In dimension d = 2, this means that there is almost certainly no random direction that is the limit of three semi-infinite branches of the RST. This result, often conjectured for radial geometric tree models, has only been proved to our knowledge in one previous case (for a last-pass percolation model).