Analyse locale et asymptotique de quelques approximations ondes longues d'équations de la dynamique des fluides

Local and asymptotic analysis for some longwave approximations of fluid dynamics equations

• Auteur / Autrice : José Palacios
• Direction : Luc Molinet
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 12/07/2022
• Etablissement(s) : Tours
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Denis Poisson (Orléans, Tours ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Yvan Martel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Luc Molinet, Jean-Claude Saut, Felipe Linares, Claudio MUñOZ, Vincent Perrollaz, Luis Vega
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Yvan Martel, Luis Vega

Mots clés

Mots clés libres

Equations dispersives

Ondes solitaires

Stabilité

Asymptotique

Kinks

Caractère bien posé

Dispersive equations

Solitary waves

Stability

Asymptotics

Kinks

Well-posedness

Résumé

Cette thèse est composée de deux parties indépendantes. Dans la première partie, nous étudions la stabilité orbitale et asymptotique de certaines ondes solitaires pointues (appelées peakons) de l'équation de Novikov. Dans la seconde partie, nous étudions le caractère bien posé local et global pour certaines équations de type Korteweg-de Vries en dimension un et deux, lorsqu'on pose le problème autour d'une fonction bornée sans décroissance spatiale particulière. L'équation de Novikov est une généralisation d'ordre supérieur de l'équation de Camassa-Holm. Elle possède une non-linéarité cubique, est complètement intégrable et conserve toutes les propriétés intéressantes (physiquement pertinentes) de l'équation de Camassa-Holm. Pour cette équation nous commençons par revisiter les résultats déjà connus de stabilité orbitale des peakons et nous établissons celle des multi-peakons. Puis, motivé par l'approche développée pour l'équation de Camassa-Holm, nous montrons la stabilité asymptotique des peakons et des multi-peakons de l'équation de Novikov. Pour cela nous introduisons en particulier une nouvelle fonctionnelle de Lyapunov qui peut être adaptée à un grand nombre de généralisations de Camassa-Holm d'ordre supérieur. Les équations Korteweg-de Vries généralisées et l'équation de Zakharov-Kuznetsov sont des modèles asymptotiques classiques respectivement uni et bi-dimensionels pour la propagation d'ondes longues dans un milieu dispersif ayant une réponse non linéaire. Nous étudions le caractère bien posé local et global dans ''l'espace d'énergie'' de ces équations dans un contexte assez général, où nous permettons à la solution d'évoluer autour d'une fonction bornée 𝛹. Cela nous permet de fournir un cadre afin étudier l'évolution temporelle des perturbations localisées de kinks, ainsi que des perturbations localisées des solutions périodiques de chacune de ces équations. Les approches classiques basées sur une utilisation du théorème du point fixe de Banach ne peuvent pas aboutir dans cette configuration du fait de la perte d'une dérivée due à l'introduction de la fonction 𝛹. Nous sommes donc amenés à nous tourner vers des raffinements de la méthode d'énergie. Nous utilisons deux approches différentes selon la dimension. La première approche repose sur une méthode introduite par Molinet-Vento qui utilise le caractàre fortement non résonant de l'équation de Korteweg-de Vries classique. Elle est de ce fait moins bien adaptée aux dimensions supérieures mais à l'avantage de donner en plus l'unicité inconditionnelle (unicité des solutions faibles). La deuxième approche repose sur l'utilisation des espaces Bourgain en temps courts, développée en particulier par Ionescu, Kenig et Tataru. Ici un choix approprié du rapport entre la longueur des petits intervalles de temps et l'inverse de la fréquence spatiale permet entre autre de rattraper la perte de dérivée.

This thesis is composed of two independent parts. In the first part, we study the orbital and asymptotic stability of certain peaked solitary waves (peakons) of the Novikov equation. In the second part, we study the local and global well-posedness for certain Korteweg-de Vries type equations in dimensions one and two, when the problem is posed in the background of a bounded function without any particular spatial decay. The Novikov equation is a higher-order generalization of the Camassa-Holm equation. It has a cubic nonlinearity, is completely integrable, and keeps all the interesting (physically relevant) properties of the Camassa-Holm equation. For this equation, we start by revisiting the already known orbital stability results for peakons, and we establish the corresponding result for multi-peakons. Then, motivated by the approach developed for the Camassa-Holm equation, we show the asymptotic stability of peakons and multi-peakons of the Novikov equation. With this aim, we introduce in particular a new Lyapunov functional, which can be adapted to a large number of higher-order generalizations of the Camassa-Holm equation. The generalized Korteweg-de Vries equations and the Zakharov-Kuznetsov equation are classical asymptotic models, in dimensions one and two respectively, for the propagation of long waves in a dispersive medium with a nonlinear response. We study the local and global well-posedness of these equations in the ''energy space'', in a rather general context, where we allow the solution to evolve in the background of a bounded function 𝛹. These results provide a framework for studying the time evolution of localized perturbations of Kinks, as well as localized non-periodic perturbations of periodic solutions for each of these equations. Classical approaches based on the use of Banach's fixed point theorem cannot succeed in the present configuration due to the loss of a derivative due to the introduction of the non-integrable background function 𝛹. Thus, we are led to turn to refinements of the energy method. We use two different approaches depending on whether we are on the one- or two-dimensional case. The first approach is based on a method introduced by Molinet-Vento which uses the strongly non-resonant character of the classical Korteweg-de Vries equation. This method is not well suited to higher dimensional problems but has the advantage of providing, in addition, the unconditional uniqueness of solutions (uniqueness of weak solutions). The second approach is based on the use of short-time Bourgain spaces, introduced for the first time by Ionescu, Kenig, and Tataru. Here, an appropriate choice of the relationship between the length of the time intervals and the inverse of the spatial frequency allows us, among other things, to recover the derivative loss.