Fonctions harmoniques discrètes dans un quadrant

Discrete harmonic functions in a quadrant

• Auteur / Autrice : Hung Hoang
• Direction : Kilian Raschel, Gerold Alsmeyer
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 24/05/2023
• Etablissement(s) : Tours en cotutelle avec Université de Münster
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IDP - Institut Denis Poisson
• Jury : Président / Présidente : Bénédicte Haas
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Kilian Raschel, Gerold Alsmeyer, Manon Defosseux, Vitali Wachtel, Zakhar Kabluchko, Marc PEIGNé, Pierre Tarrago
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Manon Defosseux, Vitali Wachtel

Mots clés

Mots clés libres

Fonctions harmoniques discrètes

Marches aléatoires dans des cônes

Processus de branchement en environnement aléatoire

Discrete harmonic functions

Random walks in cones

Branching processes in random environment

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude des fonctions harmoniques discrètes pour certaines familles de marches aléatoires réseau dans le quadrant. Nous obtenons à la fois des expressions explicites pour des exemples spécifiques et obtenons en général la construction de l'espace des fonctions harmoniques. Nous étudions d'abord une famille de marches aléatoires à grands pas, en appliquant des techniques d'analyse complexe inventées par Boxma et Cohen dans les années 80. L'approche consiste à résoudre une équation fonctionnelle pour les fonctions génératrices, en la réduisant à un problème aux valeurs limites. Nous étudions également une famille de marches aléatoires singulières et trouvons des expressions explicites pour la probabilité de fuite, sous la forme de séries alternées convergentes. L'idée, inspirée par des travaux d'Adan, Wessels et Zijm des années 90, est de commencer par un terme initial exponentiel et de compenser ad libitum les erreurs en ajoutant d'autres termes appropriés. Nous donnons des interprétations probabilistes de ces fonctions en utilisant la théorie de la frontière de Martin. Le dernier chapitre est consacré à un sujet différent mais connexe. Nous étudions une famille de processus de branchement de Galton-Watson en environnement aléatoire, avec une loi de reproduction récemment introduite par Lindo et Sagitov, dont les fonctions génératrices sont stables par itération. Plusieurs théorèmes limites classiques sont revisités, et nous sommes en mesure de fournir divers résultats explicites en régimes ''quenched'' et ''annealed''.

This thesis focuses on the study of discrete harmonic functions for some families of lattice random walks in the quadrant. We obtain explicit expressions for specific examples and answer questions about systematic constructions of the harmonic function space. We first study a family of large-jump random walks, by applying a complex analysis approach by Boxma and Cohen in the '80s. The techniques involve solving a functional equation for the generating functions by reducing it to a boundary value problem. We also investigate a family of singular random walks and find explicit expressions in the form of convergent series for the escape probability. The idea, coming from Adan, Wessels and Zijm in the '90s, is to start with an initial term and compensate the errors by adding appropriate other terms. Probabilistic interpretations for these functions are determined by Martin boundary techniques. The final chapter is devoted to a different but related topic. We study a family of Galton-Watson branching processes in random environment with an offspring law that was recently introduced by Lindo and Sagitov and whose generating functions are stable under iteration. Several classical limit theorems are revisited, and we are able to provide various explicit results in both quenched and annealed regimes.