Décompositions irréductibles des tenseurs via l'algèbre de Brauer et applications à la gravitation métrique-affine.

Irreducible decompositions of tensors via the Brauer algebra and applications to metric-affine gravity.

• Auteur / Autrice : Thomas Helpin
• Direction : Mikhail Volkov
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Physique
• Date : Inscription en doctorat le 02/10/2017
• Etablissement(s) : Tours
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Denis Poisson (Orléans, Tours ; 2018-....)

Mots clés

Mots clés libres

Gravitation métrique-affine

Tenseur de Riemann

Invariance projective

Algèbre de Brauer

Dualités de Schur-Weyl

Décomposition irreductible

Metric-affine gravity

Riemann tensor

Projective invariance

Schur-Weyl dualities

Brauer algebra

Irreducible decomposition

Résumé

Les théories métrique-affine de la gravitation (MAG) reposent sur la géométrie non-Riemannienne. Un objet central des théories métriques est le tenseur de Weyl qui est la partie sans traces du tenseur de Riemann. On définira son équivalent en géométrie non-Riemannienne. En utilisant la théorie des représentations du groupe orthogonal cela nous permettra de classifier les invariants scalaires quadratiques en la courbure de Riemann, donnant ainsi une construction transparente de l'espace des théories MAG quadratiques en la courbure de Riemann. Le tenseur de Weyl en géométrie non-Riemanienne étant invariant par transformation projective cette construction permet de cibler les conditions pour l'invariance projective des théories MAG qui d'après plusieurs travaux récents s'avère être cruciale pour la stabilité des théories MAG. En parallèle les outils nécessaire pour l'étude des théories métrique affine dans le langage informatique du programme Mathematica ont été développés dans le paquet xMAG. Le tenseur de Weyl en géométrie metrique-affine est ici obtenue par l'application d'un projecteur sans trace sur le tenseur de Riemann. Une procédure simple et efficace pour la construction des projecteurs sans traces n'est pas connue. Conjointement avec Y. Goncharov et D.V. Bulgakova nous proposons une telle construction, obtenue via la théorie des représentations de l'algèbre de Brauer. (En préparation : ''Traceless projection of tensors via the Brauer algebra'' D.V. Bulgakova, Y.O. Goncharov, T. Helpin) En général la connaissance des projecteurs sans traces est crucial en physique théorique puisque les constituants élémentaires d'une théorie physique avec la symmétrie de Lorentz ou conforme correspondent à des tenseurs sans traces. Les résultats obtenues et de nombreux aspects de l'algèbre de Brauer sont implémentées dans le paquet Mathematica BrauerAlgebra et leurs applications pour le calcul tensoriel est disponible dans le paquet xBrauer (https://github.com/THelpin).

The metric-affine theories of gravity (MAG) are build upon the mathematics of non-Riemannian geometry. A central objet of the metric theories of gravity is the Weyl tensor which is the traceless part of the Riemann tensor. We will its define counterpart in non-Riemannian geometry. Via the representation theory of the orthogonal group this will allow use to classify the invariants scalars which are quadratic in the Riemann curvature, and hence to give a transparent construction for the space of metric affine theories of gravity which are quadratic in the curvature. The weyl tensor being invariant under projective transformation the procedure give a nice criterion for the projective symmetry of quadratic MAG which according to several recent work appears to be crucial for the stability of MAG. In parallel the necessary tools for the study of metric affine gravity theories in the computer langage of Mathematica have been developed in the package xMAG. The non-Riemaniann Weyl tensor is here obtained by the action of a traceless projector on the Riemann tensor. A simple and efficient procedure for the construction of the traceless projector for arbitrary tensors is not known. Together with Y. Goncharov and D.V. Bulgakova we propose such a construction, obtained via the representation theory of the Brauer algebra. ( In preparation : ''Traceless projection of tensors via the Brauer algebra'' D.V. Bulgakova, Y.O. Goncharov, T. Helpin) Generally the knowlegde of the traceless projectors is crucial in theoretical physics since the elementary constituents of a theory with the Lorentz or conformal symmetry correspond to traceless tensors.