Modélisation et simulation numérique de la propagation d'ondes électromagnétiques dans les câbles coaxiaux.

Numerical modelling and simulation of electromagnetic wave propagation in coaxial cables.

• Auteur / Autrice : Akram Beni Hamad
• Direction : Patrick Joly, Sébastien Imperiale, Moez Khenissi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 30/09/2022
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris en cotutelle avec Université de Sousse (Tunisie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement opérateur d'inscription : École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau, Essonne ; 1970-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau). Unité de Mathématiques Appliquées
• Jury : Président / Présidente : Patrick Ciarlet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Patrick Joly, Sébastien Imperiale, Moez Khenissi, Julien Diaz, Francesca Rapetti, Juliette Chabassier, Claire Scheid
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Julien Diaz, Francesca Rapetti

Mots clés

Mots clés contrôlés

Simulation numérique directe

Mathématiques

Mots clés libres

Câbles coaxiaux

Équations de Maxwell

Éléments finis d'arête

Méthode Galerkin discontinue

Modèles de télégraphistes

Simulations numériques

Coaxial cables

Maxwell's equations

Edge elements

Discontinuous Galerkin method

Telegrapher's models

Numerical simulations

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la propagation des ondes électromagnétiques dans un réseau de câbles coaxiaux minces (constitués d'un matériau diélectrique qui entoure un fil intérieur métallique) avec sections transverses hétérogènes. Le premier objectif, atteint dans la thèse de G. Beck, était de réduire les équations de Maxwell 3D à un graphe quantique dans lequel on se ramène au calcul du potentiel et du courant électriques en résolvant des modèles 1D simplifiés. Ainsi, l'objectif principal de cette thèse est la validation numérique de ces modèles 1D.Dans un premier temps, nous avons proposé, analysé et mis en œuvre des méthodes numériques efficaces pour résoudre les modèles simplifiés 1D. Afin de réaliser la comparaison 1D/3D, un défi majeur est de concevoir des méthodes numériques pour résoudre les équations de Maxwell 3D qui sont adaptées à la spécificité des câbles électriques fins. Une procédure de discrétisation naïve basée sur un schéma explicite saute-mouton peut être vraiment coûteuse en raison de la finesse du câble. Nous avons alors proposé une approche originale consistant à adapter les éléments d'arête "Nedelec" à des mailles prismatiques allongées et à proposer une procédure de discrétisation temporelle hybride, explicite dans les directions longitudinales et implicite dans les directions transversales. En particulier, la condition de stabilité de la CFL qui en résulte n'est pas affectée par l'épaisseur du câble.Cependant, la méthode ci-dessus n'est efficace que pour des câbles parfaitement cylindriques : son extension naïve aux câbles déformés génère un recouplage longitudinal-transversal qui détruit l'efficacité de la méthode. En présence de déformations, la méthode doit donc être modifiée. En conséquence, afin de préserver le découplage longitudinal-transversal, nous proposons une méthode hybride combinant une discrétisation conforme dans les variables longitudinales et une méthode Galerkin discontinue dans les variables transversales. Cette méthode coïncide avec la précédente dans les parties cylindriques du câble.

In this thesis we are interested in the electromagnetic wave propagation in a network of thin coaxial cables (made of a dielectric material which surrounds a metallic inner wire) with heterogeneous cross sections. The first goal, achieved in the PhD thesis of G. Beck few years ago, was to reduce 3D Maxwell’s equations to a quantum graph in which we reduce ourselves to the calculation of the electric potential and current by solving simplified 1D models. Thus, the main objective of this thesis is the numerical validation of these 1D models.In a first step we have proposed, analysed and implemented efficient numerical methods for solving the 1D approximate problems. In order to achieve the 1D/3D comparison, a major challenge is to design numerical methods for solving 3D Maxwell’s equations dedicated to taking into account the specificity of thin electric cables. A naive discretization procedure based on a leap-frog explicit scheme can be really costly because of the thinness of the cable. In the case have then proposed an original approach consisting in adapting Nedelec’s edge elements to elongated prismatic meshes and proposing a hybrid time discretization procedure which is explicit in the longitudinal directions and implicit in the transverse ones. In particular, the resulting CFL stability condition is not affected by the small thickness of the cable. However the above is only effective for perfectly cylindrical cables : its naive extension do deformed cables generates longitudinal-transverse recoupling that destroys the efficiency of the method. In the presence of deformations, the method needs to be modified. In order to preserve the longitudinal/transverse decoupling, we propose a hybrid method combining a conforming discretization in the longitudinal variable and a Discontinuous Galerkin method in the transverse ones. This method coincides with the previous one in the cylindrical parts of the cable.