Analyse multifractale et étude statistique des coefficients dominants : applications aux modèles mathématiques et aux données physiologiques

Multifractal Analysis and Statistical study of wavelet leaders : Applications to Mathematical Models and Physiological Data

• Auteur / Autrice : Wejdene Nasr Ben Hadj Amor
• Direction : Stéphane Jaffard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/12/2024
• Etablissement(s) : Paris 12
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées (Créteil ; 1992-....) - Laboratoire des Mathématiques Appliquées / LaMA
• Jury : Président / Présidente : Patrice Abry
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stéphane Jaffard, Hermine Biermé, Jean-Marc Bardet, Hélène Halconruy, Imen Sakji Bhouri, Stéphane Seuret, Véronique Billat
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Hermine Biermé, Jean-Marc Bardet
• DOI : 10.70675/44491bcaz9910z4f99za725zb7f2ac2ffa11

Mots clés

Mots clés contrôlés

Multifractales

Mots clés libres

Analyse multifractale

Exposent d'échelle faible

Coefficients dominants

Log-Concavité

Données physiologiques

Mélange Gaussien

Multifractal analysis

Weak scaling exponent

Wavelet leaders

Log-Concavity

Physiological data

Gaussian mixture

Résumé

Les signaux partout irréguliers sont omniprésents dans la nature et les technologies. L'analyse multifractale est apparue comme un cadre puissant pour analyser de telles données. Elle vise à identifier et classifier les différents type de singularités d'une fonction, et à estimer la taille des ensembles où ces singularités apparaissent. Ce domaine est issu de l'article fondateur d'U. Frisch et G. Parisi en 1985, qui proposait une relation entre la fonction d'échelle de Kolmogorov et les dimension fractales des singularités ponctuelles des données (spectre multifractal). Cette relation a ensuite été reformulée à l'aide des décompositions en ondelettes afin d'obtenir des résultats mathématiques précis concernant la validité de cette méthode.La thèse porte sur plusieurs questions théoriques et appliquées autour de l'analyse multifractale basée sur les coefficients sur des bases orthonormée d'ondelettes:- Etude des propriétés de l'exposant d'échelle faible introduit par Yves Meyer, qui permet de s'affranchir de toute hypothèse de régularité globale sur les donnée et donc de ne pas effectuer une régularisation préalable du signal par intégration.- Validation de ce nouveau formalisme multifractal sur différents modèles mathématiques et utilisation pour l'étude de données physiologiques captées sur des marathoniens et comparaison avec le formalisme multifractal basé sur les p-leaders. Analyse multifractale conjointe (analyse multifractale multivariée) de plusieurs signaux physiologiques de naturedifférente captés simultanément).-Etude théorique et numérique de la loi des ''coefficients dominants'', qui sont des sup locaux de coefficients d'ondelettes et constituent les quantités multirésolution utilisées pour réaliser une analyse multifractale adaptée à l'exposant de Hölder ponctuel. Le but de cette étude est double: il s'agit d'une part d'étudier la validité de l'hypothèse de lognormalité des coefficients nécessaire à la mise en oeuvre des méthodes bayesiennes d'estimation de spectres multifractals, et c'est par ailleurs un prérequis pour élaborer des barres d'erreur nécessaires à l'obtention de résultats de classification basés sur des paramètres de nature multifractale. Cette étude conduit à proposer un modèle plus général, basé sur des distributions log-concaves, qui est validé numériquement, tant sur des modèles mathématiques que sur des données expérimentales.- Obtention de modules de continuité globaux et locaux précis sur le modèle des séries aléatoires d'ondelettes en abandonnant l'hypothèse d'indépendance des coefficients d'ondelettes correspondant à des échelles différentes. On considère en particulier le cas important dans les applications où la loi des coefficients d'ondelettes est un mélange de gaussiennes généralisées.

Irregular signals are ubiquitous in nature and technology. Multifractal analysis has emerged as a powerful framework to analyze such data. Its goal is to identify and classify the different types of singularities in a function and estimate the size of the sets where these singularities appear. This field originated from the foundational paper by U. Frisch and G. Parisi in 1985, which proposed a relationship between Kolmogorov’s scaling function and the fractal dimensions of the pointwise singularities of the data (multifractal spectrum). This relationship was later reformulated using wavelet decompositions to obtain precise mathematical results concerning the validity of this method.The thesis focuses on several theoretical and applied questions related to multifractal analysis based on wavelet coefficients in an orthonormal basis:- Study of the properties of the weak scaling exponent introduced by Yves Meyer, which allows us to avoid any assumption of global regularity on the data, thus eliminating the need for prior signal regularization by integration.- Validation of this new multifractal formalism on various mathematical models, and its use in the study of physiological data captured from marathon runners, compared to the multifractal formalism based on p-leaders. Joint multifractal analysis (multivariate multifractal analysis) of several physiological signals of different types captured simultaneously.- Theoretical and numerical study of the ''leaders'' law, which are local suprema of wavelet coefficients and constitute the multiresolution quantities used for performing a multifractal analysis adapted to the pointwise Hölder exponent. The goal of this study is twofold: on one hand, to examine the validity of the log-normality assumption of the coefficients required for the implementation of Bayesian methods for multifractal spectrum estimation; and on the other hand, to lay the groundwork for constructing error bars necessary to obtain classification results based on multifractal parameters. This study leads to the proposal of a more general model based on log-concave distributions, which is numerically validated on both mathematical models and experimental data.- Derivation of precise global and local moduli of continuity for the random wavelet series model, abandoning the assumption of independence of the wavelet coefficients corresponding to different scales. We specifically consider the important case in applications where the distribution of the wavelet coefficients is a mixture of generalized Gaussians.