« Equations différentielles stochastiques et applications; Processus de Hawkes âge-dépendants à longues portées »

Stochastic differential equations and applications; Age-dependent long-range Hawkes process

• Auteur / Autrice : Nadia Belmabrouk
• Direction : Arnaud Le ny, Mondher Damak
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 13/12/2023
• Etablissement(s) : Paris 12 en cotutelle avec Université de Sfax
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LAMA -- Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées
• Jury : Président / Présidente : Nicolas Savy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Arnaud Le ny, Mondher Damak, Soufiane Gasmi, Afif Masmoudi, Sophie Laruelle
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Soufiane Gasmi

Mots clés

Mots clés libres

Processus de Hawkes Multivarié

Interactions à longues portées sur un réseau infini

Processus à mémoire

Fonctions psudo presque périodiques

Diffusion de Langevin perturbée

Comportement à temps long

Multivariate Hawkes Process

Long-range interactions

Age-dependent Hawkes process

Pseudo almost periodic functions

Irreversible Langevin diffusion

Large time behaviour

Résumé

Cette thèse se place à la rencontre entre deux grands domaines des mathématiques : l’étude des équations différentielles stochastiques et l'étude des processus ponctuels. Dans le premier chapitre, Nous consid'erons l'équation différentielle stochastique suivante : begin{equation*} dx(t)=Ax(t)dt+f(t,x(t-tau))dt+varphi(t,x(t-tau))dmathbb{W}(t),;tin mathbb{R}, end{equation*} o`u $A$ est le g'en'erateur infinit'esimal de $C_0-$semi-groupe $(T(t))_{tgeq 0}$ exponentiellement stable, $f,varphi$ sont deux processus stochastiques satisfaisant certaines propri'et'es qu'on pr'esisera par la suite et $mathbb{W}(t)$ est le mouvement Brownien standard `a valeurs dans $mathbb{H}.$ Nous prouvons, grâce au recours au théorème de point fixe de Banach, l'existence, l'unicité et la stabilité d'une solution pseudo-presque périodique. En outre, ces mêmes résultats ont été démontrés pour le model de ''Nicholson's Blowflies model'': {small begin{equation*} dx(t)=-a(t)x(t)dt+sum_{i=1}^malpha_i(t)x(t-tau_i(t))e^{-beta_i(t)int_{-infty}^0 k_i(s)x(t+s)ds}dt+f(t,x(t-tau))dmathbb{W}(t),;tin mathbb{R}. end{equation*}} Soit $underline{a}= ds inf_{tinmathbb{R}}a(t). a,alpha_i,beta_i in mathcal{C}(mathbb{R},mathbb{R}_+),$ $tau_iinmathcal{B}_{C}(mathbb{R},mathbb{R}_+)$, $taugeq 0$, le noyau de retard $k_iinmathcal{C}(mathbb{R}^-,mathbb{R}_+)$, où $mathbb{R}_+=[0,+infty)$ and $mathbb{R}^-=(-infty,0)$ , $f$ est un processus stochastique et $mathbb{W}(t)$ est un mouvement brownien standard à valeurs dans $mathbb{H}$. Nous abordons ensuite l'étude du système au bord de Dirichlet associé à la diffusion de Langevin perturbée : begin{equation*} left{begin{array}{ll} -Deltavarphi_A+nabla U.nabla varphi_A+Amathrm{b}.nablavarphi_A=lambda_Avarphi_A;;; text{sur} Omega, varphi_A=0 text{sur} partialOmega. end{array} right. end{equation*} Nous visons à étendre le lemme de Rellich cite{B} en utilisant l'espace de Sobolev avec la mesure de probabilité $pi$. En outre, nous fournissons une condition nécessaire et suffisante pour l'étude de la bornitude de la première valeur propre ainsi que de son comportement asymptotique, dans le cadre des conditions aux bords de Dirichlet. Finallement, Nous 'etudions les interactions à longue portées entre les particules sr un réseau infini via le processus de Hawkes. Nous nous inspirons du cas des plus proches voisins de Delattre {em et al.}cite{DFH} pour élaborer une méthode d'analyse similaire, qui nous permet de mieux comprendre les relations entre les particules dans le réseau. Le modèle utilisé pour modéliser de telles interactions est le suivant : begin{equation*} X_t^i=int_0^tint_0^{infty}textbf{1}_{{xleqmu_i+c(alpha)sum_{jrightarrow i}int_0^{s-}frac{1}{|i-j|^{alpha}}varphi(s-u)dX_u^j}}pi^i(dsdx). end{equation*} Nous abordons la question du comportement asymptotique dans le cas sous-critique et surcritique en fonction de la valeur du paramètre $alpha$.

This thesis lies at the intersection of two major mathematical domains: the study of stochastic differential equations and the analysis of point processes. In the first chapter, we consider the following stochastic differential equation: begin{equation*} dx(t)=Ax(t)dt+f(t,x(t-tau))dt+varphi(t,x(t-tau))dmathbb{W}(t),;tin mathbb{R}, end{equation*} Here, A represents the infinitesimal generator of an exponentially stable $C_0$-semigroup $(T(t))_{tgeq 0$, and $f$ and $varphi$ are stochastic processes with specific properties, which we will detail later. Additionally, $mathbb{W}(t)$ denotes the standard Brownian motion in the space $mathbb{H}$. Using the Banach fixed-point theorem, we establish the existence, uniqueness, and stability of a pseudo-almost periodic solution for this equation. These results are also extended to the ''Nicholson's Blowflies model,'' which is given by: begin{equation*} dx(t)=-a(t)x(t)dt+sum_{i=1}^malpha_i(t)x(t-tau_i(t))e^{-beta_i(t)int_{-infty}^0 k_i(s)x(t+s)ds}dt+f(t,x(t-tau))dmathbb{W}(t),;tin mathbb{R}. end{equation*} Here, $underline{a}= inf_{tinmathbb{R}}a(t)$, and $a$, $alpha_i$, $beta_i$ are functions in $mathcal{C}(mathbb{R},mathbb{R}+)$, $tau_iinmathcal{B}{C}(mathbb{R},mathbb{R}+)$, $taugeq 0$, the delay kernel $k_iinmathcal{C}(mathbb{R}^-,mathbb{R}+)$, with $mathbb{R}_+=[0,+infty)$ and $mathbb{R}^-=(-infty,0)$, $f$ is a stochastic process, and $mathbb{W}(t)$ is a standard Brownian motion in $mathbb{H$}. The next chapter focuses on the study of the Dirichlet boundary value problem associated with the perturbed Langevin diffusion: begin{equation*} left{ begin{array}{ll} -Deltavarphi_A+nabla U.nabla varphi_A+Amathrm{b}.nablavarphi_A=lambda_Avarphi_A;;; text{on} Omega, varphi_A=0 text{on} partialOmega. end{array} right. end{equation*} We aim to extend Rellich's lemma cite{B} using the Sobolev space with the probability measure $pi$. Furthermore, we provide a necessary and sufficient condition for the boundedness of the first eigenvalue and its asymptotic behavior, within the framework of Dirichlet boundary conditions. Finally, we investigate long-range interactions among particles on an infinite network using the Hawkes process. Drawing inspiration from Delattre et al.'s nearest neighbor case cite{DFH}, we develop a similar analytical approach to gain a deeper understanding of the relationships between particles in the network. The model used to capture such interactions is as follows: begin{equation*} X_t^i=int_0^tint_0^{infty}textbf{1}{{xleqmu_i+c(alpha)sum{jrightarrow i}int_0^{s-}frac{1}{|i-j|^{alpha}}varphi(s-u)dX_u^j}}pi^i(dsdx). end{equation*} We address the question of the asymptotic behavior in both the subcritical and supercritical cases, depending on the value of the parameter $alpha.$