Unimodularité dans les réseaux aléatoires : Applications au graphe de Doeblin récurrent nul et à la classification hiérarchique

Unimodularity in Random Networks: Applications to the Null recurrent Doeblin Graph and Hierarchical Clustering

• Auteur / Autrice : Sayeh Khaniha
• Direction : François Baccelli
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 26/09/2023
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres en cotutelle avec Sharif University of Technology
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : DIENS - Département d'informatique de l'École normale supérieure
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : DYOGENE
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Ecole normale supérieure
• Jury : Président / Présidente : Eva Löcherbach
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François Baccelli, Alexandre Gaudilliere, Nicolas Curien, Hermann Thorisson, Kasra Alishahi, Javad Ebrahimi broojeni, Mir-Omid Haji-mirsadeghi
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Nicolas Curien, Ádám Dávid Timar

Mots clés

Mots clés libres

Graphes Unimodulaires Aléatoires

Processus ponctuels stationnaires

Classification des feuilles

Échantillonnage parfait

Classification hiérarchique sur les processus ponctuels

Arbres Aléatoires

Unimodular Random graphs

Stationary Point Processes

Foil Classification

Perfect Sampling

Hierarchical Clustering on Point Process

Random Trees

Résumé

Cette thèse explore la notion d'unimodularité dans le contexte des réseaux aléatoires et ses applications au graphe de Doeblin récurrent nul et aux modèles de classification hiérarchique. L'unimodularité caractérise les réseaux aléatoires enracinés où chaque sommet a une probabilité égale d'être la racine. La première partie de cette thèse se concentre sur les propriétés d'un graphe aléatoire spécifique appelé le graphe de Doeblin, qui est associé à l'algorithme du Coupling from the Past utilisé pour l'échantillonnage parfait de la distribution stationnaire d'une chaîne de Markov. Dans le cas irréductible, apériodique et récurrent positif, il est connu que le graphe de Doeblin Bridge, un sous-graphe du graphe de Doeblin, est un arbre infini qui peut être unimodularisé. Cet arbre infini joue un rôle crucial dans la construction d'un échantillon parfait de l'état stationnaire de la chaîne de Markov. Cette thèse étend l'étude au cas récurrent nul, où il est montré que le graphe de Doeblin Bridge est soit un arbre infini, soit une forêt composée d'une collection dénombrable d'arbres infinis. Dans le premier cas, l'arbre infini possède une seule extrémité, n'est pas généralement unimodularisable, mais présente une unimodularité locale. Ces propriétés sont utilisées pour étudier le régime stationnaire de dynamiques aléatoires à valeur de mesure sur cet arbre de Doeblin Bridge, en particulier les dynamiques aléatoires taboues et potentielles. La deuxième partie de cette thèse présente un nouveau modèle de classification hiérarchique conçu spécifiquement pour les ensembles de données comportant un nombre dénombrable de points. La classification hiérarchique est une technique largement utilisée en apprentissage non supervisé pour identifier des groupes au sein d'un ensemble de données en fonction des similarités entre ses éléments. L'algorithme proposé utilise plusieurs niveaux de classification et construit des clusters à chaque niveau en utilisant des chaînes de points ou de clusters les plus proches. Cet algorithme est appliqué au processus ponctuel de Poisson, et il est démontré que l'algorithme de classification définit une forêt phylogénétique sur le processus ponctuel de Poisson, qui est un facteur du processus ponctuel et donc unimodulaire. Diverses propriétés de cette forêt aléatoire, telles que les tailles moyennes des clusters à chaque niveau ou la taille moyenne du cluster d'un nœud typique, sont examinées.

This thesis explores the notion of unimodularity in the context of random networks and its applications on the null recurrent Doeblin Graph and hierarchical clustering models. Unimodularity is a concept that characterizes random rooted networks, where each vertex has an equal probability of being the root. The first part of this thesis focuses on the properties of a specific random graph called the Doeblin Graph, which is associated with the Coupling from the Past algorithm used for perfect sampling of the stationary distribution of a Markov Chain. In the irreducible, aperiodic, and positive recurrent case, it is known that the Bridge Doeblin Graph, a subgraph of the Doeblin Graph, is an infinite tree that is unimodularizable. This infinite tree plays a crucial role in constructing a perfect sample of the stationary state of the Markov chain. This thesis extends the study to the null recurrent case, where it is shown that the Bridge Doeblin Graph is either an infinite tree or a forest composed of a countable collection of infinite trees. In the former case, the infinite tree possesses a single end, is not generally unimodularizable, but exhibits local unimodularity. These properties are leveraged to investigate the stationary regime of measure-valued random dynamics on the Bridge Doeblin Tree, particularly the taboo and potential random dynamics. The second part of this thesis introduces a novel hierarchical clustering model tailored for datasets with a countably infinite number of points. Clustering, a widely used technique in unsupervised learning, aims to identify groups within a dataset based on element similarities. The proposed algorithm employs multiple levels of clustering, constructing clusters at each level using nearest-neighbor chains of points or clusters. This algorithm is applied to the Poisson point process, and it is proven that the clustering algorithm defines a phylogenetic forest on the Poisson point process, which is a factor of the point process and therefore unimodular. Various properties of this random forest, such as the mean sizes of clusters at each level or the mean size of the cluster of a typical node, are examined.