Approximation diffusion pour des équations dispersives

Approximation diffusion for dispersive equations

• Auteur / Autrice : Grégoire Barrué
• Direction : Arnaud Debussche, Anne de Bouard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 07/07/2022
• Etablissement(s) : Rennes, École normale supérieure
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Université de Rennes - École normale supérieure - Rennes - Institut de Recherche Mathématique de Rennes
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Charles-Edouard Bréhier, Luis Miguel Rodrigues
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Guillaume Dujardin, Svetlana Roudenko

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles

Schrödinger, Équation de

Mots clés libres

Approximation diffusion

Équation de Schrödinger non linéaire

Système de Zakharov

Schémas AP

Approximation diffusion

Nonlinear Schrödinger equation

Zakharov system

AP schemes

Résumé

Cette thèse porte sur des problèmes d’approximation diffusion. On s’intéresse plus particulièrement à l’équation de Schrödinger avec une non linéarité de type puissance, perturbée par un potentiel aléatoire.On montre la convergence en loi de la solution de cette équation vers celle d’une équation de Schrödinger stochastique, dirigée par un processus de Wiener. On étudie également le système de Zakharov stochastique, et l’on se sert de la méthode de la Fonction Test Perturbée pour prouver une convergence vers une équation de Schrödinger cubique stochastique. Enfin, on s’intéresse à la notion de schémas numériques préservant l’asymptotique.On propose alors un schéma numérique approchant la solution du système de Zakharov stochastique, qui converge vers un schéma numérique approchant la solution de l’équation de Schrödinger stochastique limite.

This thesis deals with approximation diffusion problems. More precisely we study the Nonlinear Schrödinger equation with a random potential. We prove that the solution of this equation converges in distribution to the solution of a stochastic Nonlinear Schrödinger equation, driven by a Wiener process.We also study the stochastic Zakharov system, and we use the Perturbed test Function method to prove the convergence of the solution of this system to the solution of a cubic stochastic Schrödinger equation. Finally we study the theory of Asymptotic Preserving numerical schemes. We present a numerical scheme which approximates the solution of the stochastic Zakharov system, and which converges to a numerical scheme approximating the soluton of the limiting stochastic Schrödinger equation.