Théorie de la régularité pour les équations de Fokker-Planck cinétiques

Regularity theory for kinetic Fokker-Planck equations

• Auteur / Autrice : Yuzhe Zhu
• Direction : Cyril Imbert, François Golse
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 05/07/2022
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École normale supérieure (Paris ; 1985-....). Département de mathématiques et applications (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École normale supérieure (Paris ; 1985-....)
• Jury : Président / Présidente : Isabelle Gallagher
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Cyril Imbert, François Golse, Evelyne Miot, Stéphane Mischler, Clément Mouhot, Antoine Mellet, Laurent Desvillettes
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Antoine Mellet, Laurent Desvillettes

Mots clés

Mots clés libres

Régularité

Problèmes de limites

Équations de Fokker-Planck cinétiques

Kinetic Fokker-Planck equations

Regularity

Boundary problems

Résumé

Cette thèse est consacrée à la théorie de la régularité des équations de Fokker-Planck cinétiques. Dans un premier temps, nous étudions l'effet de régularisation intérieure pour les équations avec opérateurs de transport généraux et coefficients rugueux, en revisitant la théorie de De Giorgi-Nash-Moser et les lemmes de moyenne de vitesse. La deuxième partie traite du problème de Cauchy et de l'asymptotique de diffusion pour un modèle cinétique associé à un opérateur Fokker-Planck non linéaire. Nous dérivons le problème global bien posé avec effet de lissage instantané, et l'asymptotique de diffusion globale de manière quantitative. Enfin, nous étudions l'existence, l'unicité et le mécanisme de régularisation aux limites pour les équations en présence de conditions aux limites, y compris les cas d'afflux, de réflexion diffuse et de réflexion spéculaire.

This thesis is devoted to the regularity theory of kinetic Fokker-Planck equations. Firstly, we study the interior regularization effect for the equations with general transport operators and rough coefficients, by revisiting the De Giorgi-Nash-Moser theory and velocity averaging lemmas. The second part addresses the Cauchy problem and the diffusion asymptotics for a kinetic model associated to a nonlinear Fokker-Planck operator. We derive the global well-posedness with instantaneous smoothness effect, and the global diffusion asymptotics quantitively. Finally, we study the existence, uniqueness, and boundary regularization mechanism for the equations in the presence of boundary conditions, including the inflow, diffuse reflection and specular reflection cases.