Modélisation macroscopique de mouvements de foule à deux types, modèles SIR condensés

Macroscopic modeling of the motion of a crowd with two types, condensed SIR models

• Auteur / Autrice : Félicien Bourdin
• Direction : Bertrand Maury, Gabriel Peyré
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 13/07/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École normale supérieure (Paris ; 1985-....). Département de mathématiques et applications (1998-....) - Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Université Paris-Saclay. Faculté des sciences d’Orsay (Essonne ; 2020-....)
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Mathématiques (2020-....)
• Jury : Président / Présidente : Noureddine Igbida
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Vincent Calvez, Clément Cancès, Anne-Laure Dalibard Roux, Quentin Mérigot
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Vincent Calvez, Clément Cancès

Mots clés

Mots clés contrôlés

Comportement collectif

Transport optimal de mesure

Modèles mathématiques

Épidémiologie

Mots clés libres

Modèles SIR

Transport optimal

Mouvements de foule

SIR Models

Optimal Transport

Crowd Motion

Résumé

On étudie dans cette thèse la modélisation macroscopique des mouvements de foule dans le cas d'une population divisée en plusieurs types ayant des comportements différents, ainsi que le développement de modèles d'épidémiologie dits ``SIR'' permettant l'analyse de la propagation d'une maladie infectieuse dans une école. Ces deux problématiques ont été étudiées séparément~: au sujet initial (les mouvements de foule) s'est superposé le problème de modélisation d'épidémie en milieu scolaire suite à une sollicitation de MODCOV19, une plateforme créée par le CNRS et l'INSMI pour centraliser et coordonner les projets de modélisation autour de l'épidémie de COVID-19. Cette thèse est donc composée de deux parties indépendantes. On analyse d'une part la convergence de différents schémas numériques découlant d'approches différentes de l'équation de mouvement de foule à deux types - flot gradient, catching-up, volumes finis. On étudie également l'homogénéisation de modèles microscopiques de particules vers le problème macroscopique. On s'intéresse enfin au problème inverse d'identification des paramètres des modèles étant donnée l'observation d'un mouvement de foule. D'autre part, on développe un type de modèle SIR dit ``condensé'', où les quantités épidémiologiques sont définies à l'échelle de groupes d'individus. On analyse formellement la qualité du processus de condensation lorsque l'on a accès à l'ensemble des interactions dans la population, et on présente l'implémentation effective réalisée en collaboration avec MODCOV19.

We study in this thesis the macroscopic modelling of crowd motion in the case of a population divided in several types that may have different behaviours, as well as the development of SIR models in order to analyse the spread of an infectious disease in a school. These two issues were studied separetely. As the original topic of this thesis was crowd motion, we answered to a proposition of MODCOV19 - a platform created by CNRS and INSMI to centralize and coordinate modeling projects on the COVID-19 outbreak - to design epidemiological models adapted to school media. This work is thus composed of two independent parts. On the one hand we analyse the convergence of several numerical schemes that stem from different standpoints on the macroscopic crowd motion equation - optimal transport, gradient flow, finite volumes. We study as well the homogenization of microscopic models of particles towards the macroscopic model. We eventually investigate the inverse problem of identifying of the parameters of a model, being observed the motion of a crowd. On the other hand, we develop a class of ``condensed'' SIR models, where the epidemiological quantities are defined at the scale of groups of individuals. We formally analyse the quality of the condensation process when a full description of the interaction within the population is available. We then detail the implementation carried out in collaboration with MODCOV19.