Contrôle Stochastique avec Contrainte en Loi

Mean-field stochastic control with constraints in law

• Auteur / Autrice : Samuel Daudin
• Direction : Pierre Cardaliaguet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 13/01/2023
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : François Delarue
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre Cardaliaguet, François Delarue, Yves Achdou, Dylan Possamaï, Catherine Rainer, Daniela Tonon
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Yves Achdou, Dylan Possamaï

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse stochastique

Théorie du champ moyen

Théorie des jeux

Mots clés libres

Contrôle Stochastique

Théorie des Jeux à Champ Moyen

Optimisation sous Contraintes

Limite de Champ Moyen

Stochastic Control

Mean-Field Games

Constrained Optimization

Mean-Field Limit

Résumé

On étudie des problèmes de contrôle stochastique de type champ-moyen avec des contraintes sur la loi du processus. Le but est de caractériser les stratégies optimales grâce à un système couplé d'équations aux dérivées partielles qui est celui de la théorie des jeux à champ-moyen. On étudie tout d'abord un problème avec contrainte terminale puis un problème avec contrainte à chaque instant. Pour ce second problème on étudie la régularité en temps des contrôles optimaux sous des conditions géométriques sur la contrainte. On montre également comment ce problème apparaît comme limite de problèmes de contrôle où un grand nombre d'agents sont soumis à des contraintes symétriques et presque-sûres. Dans une dernière partie, on étudie quantitativement, en obtenant un taux de convergence, la limite champ-moyen pour des problèmes de contrôle stochastique sans contrainte.

We analyse mean-field stochastic control problems under constraints in law. The goal is to characterize optimal solutions thanks to a mean-field game system of partial differential equations. We start with a problem with terminal constraint and go on with a problem with constraint at all time. For this second problem we prove the time regularity of optimal controls under suitable geometric assumptions on the constraint. We also explain how this problem arises as limit of control problems for a large number of interacting agents with symmetric, almost-sure constraints. Finally we investigate quantitatively the mean-field limit for stochastic control problems without constraint and prove that this convergence holds with a rate.