Variétés abéliennes sur les corps de fonctions: aspects métriques des points de torsion et applications

par Lilian Saligue

Projet de thèse en Mathématiques Pures

Sous la direction de Pascal Autissier.

Thèses en préparation à Bordeaux , dans le cadre de École doctorale de mathématiques et informatique , en partenariat avec IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux (laboratoire) et de Théorie des Nombres (equipe de recherche) depuis le 10-07-2019 .


  • Résumé

    Une partie de la géométrie arithmétique a pour objet d'étudier les points de torsion des variétés abéliennes (rappelons que ces dernières sont des groupes algébriques ``compacts'', i.e. des généralisations en dimension supérieure des courbes elliptiques). Ce sujet de thèse s'inscrit dans ce cadre. Plus précisément, soit $A$ une variété abélienne sur $overline{mathbb{Q}_p}$. Munissons le groupe $A(overline{mathbb{Q}_p})$ de la topologie $p$-adique; on sait qu'elle peut être définie par une métrique $d$. Un théorème classique de Mattuck montre que le sous-groupe de torsion $A(overline{mathbb{Q}_p})_{tor}$ est discret pour cette topologie: il existe $epsilon>0$ tel que $d(y,0)>epsilon$ pour tout $yin A(overline{mathbb{Q}_p})_{tor}-{0}$. Remarquons que ce phénomène est spécifiquement ultramétrique: le sous-groupe de torsion d'une variété abélienne sur $mathbb{C}$ est ``au contraire'' dense pour la topologie euclidienne usuelle. Scanlon, résolvant une conjecture de Tate-Voloch, a prouvé l'extension suivante du résultat de Mattuck: Théorème (Scanlon): Soit $A$ une variété abélienne sur $overline{mathbb{Q}_p}$. Soit $X$ un fermé de Zariski de $A$. Il existe alors $epsilon>0$ tel que pour tout point de torsion $y$ de $A$, on ait $yin X$ ou $d(y,X)>epsilon$. Dans une première partie de la thèse, on s'intéressera à l'analogue de cet énoncé en caractéristique $p>0$: Problème 1: Soit $A$ une variété abélienne sur $overline{mathbb{F}_p((t))}$. Soit $X$ un fermé de Zariski de $A$. Existe-t-il $epsilon>0$ tel que tout point de torsion de $A$ qui n'est pas dans $X$ est à distance $t$-adique $>epsilon$ de $X$ ? Une réponse positive devrait avoir des applications, notamment à la version sur les corps de fonctions d'une conjecture de Su-ion Ih. Rappelons de quoi il s'agit. Soient $K$ un corps de nombres et $A$ une variété abélienne sur $K$. Une sous-variété $X$ de $A$ est dite de torsion lorsque chaque composante de $X_{overline{K}}$ est le translaté $y+B$ d'une sous-variété abélienne $B$ de $A_{overline{K}}$ par un point de torsion $y$ de $A(overline{K})$. Raynaud, résolvant la fameuse conjecture de Manin-Mumford, a montré que si $X$ est une sous-variété de $A$ qui n'est pas de torsion, alors l'ensemble $A(overline{K})_{tor}cap X$ n'est pas Zariski-dense dans $X$. Plus récemment, Su-ion Ih a proposé un analogue ``non compact'' intéressant de cet énoncé: Conjecture (Ih): Soit $S$ un ensemble fini de places de $K$. Soit $D$ une hypersurface de $A$ qui n'est pas de torsion. Posons $Y=A-D$. Alors tout ensemble $Tsubset Y(overline{K})$ de points de torsion $S$-entier sur $Y$ est non Zariski-dense dans $Y$. Le cas des courbes elliptiques est connu, mais cette conjecture est encore largement ouverte en dimension $>1$. Sans entrer dans les détails, disons que les difficultés proviennent notamment de la présence des places archimédiennes de $K$ (pour le lecteur expert: il faudrait prouver un énoncé d'équirépartition ``logarithmique'' des points de torsion). Un deuxième axe de recherche de cette thèse est donc le suivant: Problème 2: Etudier l'analogue de la conjecture de Ih lorsque $K$ est une extension finie de $mathbb{F}_p(t)$. On s'attend à ce qu'une réponse positive au problème 1 permette d'attaquer cette question, en observant que les corps de fonctions n'ont que des places ultramétriques.

  • Titre traduit

    Abelian varieties over function fields: metric aspects of torsion points and applications


  • Résumé

    See french version.