Contributions aux schémas préservant des solutions stationnaires à vitesse non nulle pour les équations shallow-water.

Contributions to schemes preserving steady states solutions at non-zero speed for shallow-water

• Auteur / Autrice : Meissa M'Baye
• Direction : Christophe Berthon, Diaraf Seck
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 24/03/2022
• Etablissement(s) : Nantes Université en cotutelle avec Université Cheikh Anta Diop (Dakar, Sénégal ; 1957-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (Nantes)
• Jury : Président / Présidente : François James
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Françoise Foucher, Victor Michel-Dansac, Jean de Dieu Zabsonré
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Marc Hérard, Ousmane Seydi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes dynamiques hyperboliques

Volumes finis, Méthodes de

Mots clés libres

Équations de Saint-Venant

Schémas équilibres

Schéma de Godounov

Résumé

Le but de ce travail est de construire une nouvelle classe de schémas de type Godunov préservant toutes les solutions stationnaires du système de Saint-Venant avec terme source de topographie. Dans un premier temps, nous rappelons des éléments sur les propriétés et l’algèbre du modèle étudié. Ensuite, nous dérivons deux schémas de type Godunov. Le premier schéma préserve la positivé de la hauteur d’eau, capture toutes les solutions stationnaires et traite les transitions entre zones mouillées et zones sèches. Cependant, ce schéma capture également des chocs stationnaires non entropiques. Le deuxième schéma développé permet de corriger le défaut d’entropie. Ce schéma préserve la positivé de la hauteur d’eau et capture toutes les solutions stationnaires sans transition de régime entre écoulement fluvial et écoulement torrentiel. De plus, ce second schéma ne capture pas les chocs stationnaires non entropiques. Des critères de stabilité faible entropique ont été établis pour les deux schémas. Enfin, nous proposons une extension du second ordre de type MUSCL qui préserve tous les états stationnaires et des expériences numériques sont présentées afin de confirmer nos propos.

The aims of this thesis is to derive a new class of numerical methods of Godunov type scheme preserving all steady states solutions of shallow-water equation with topographie source term. First, we recall some elements on the properties and the algebra of the studied model. Then, we derive two new Godunov type schemes. The first numerical scheme preserves the positivity of the water height, captures all the steady states solutions and correctly processes the transitions between wet areas and dry areas. However, this scheme additionally captures non-entropic stationnary shocks. The second methods derived is a correction of the first sche- -me with respect to its entropy defect. This new scheme captures, in addition top preserving the positive water height, all steady states solutions without regime transition but does not capture non-entropic stationnary shock. In addition, low entropy stability criteria were established for the tow new schemes. Several numerical simulations were carried out in order to illustrate the relevance of its two new numerical methods. Finally, we propose a second order extension of the MUSCL type which preserves all the stationary states and numerical experiments are presented in order to confirm our remarks