Thèse en cours

Théorème des métriques bosselées au sens de Mañé pour les champs de vecteurs hamiltonien non convexe
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Triangle exclamation pleinLa soutenance a eu lieu le 13/06/2022. Le document qui a justifié du diplôme est en cours de traitement par l'établissement de soutenance.
Auteur / Autrice : Shahriar Aslani
Direction : Patrick Bernard
Type : Projet de thèse
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Inscription en doctorat le
Soutenance le 13/06/2022
Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École normale supérieure (Paris ; 1985-....). Département de mathématiques et applications (1998-....)
établissement opérateur d'inscription : École normale supérieure (Paris ; 1985-....)
Jury : Président / Présidente : Marie-Claude Arnaud
Examinateurs / Examinatrices : Patrick Bernard, Abed Bounemoura, Maxime Zavidovique, Ludovic Rifford
Rapporteurs / Rapporteuses : Ludovic Rifford, Leo Butler

Résumé

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Une propriété est générique au sensé de Mañé si, donné un Hamiltonien H : T ∗M → R, l’ensemble des fonctions lisses u : M → R tel que H + u vérifie la propriété est un sous-ensemble générique de C∞(M ). Notre objectif est de savoir dans quelle mesure la non dégénérescence de toutes les orbites périodiques dans un niveau d’énergie donné d’un Hamiltonien lisse non convexe est une propriété générique au sensé de Mañé. Où la non-dégénérescence signifie que dérivée de l’application de Poincaré ne prend pas les racines de l’unité comme une valeurs propre. Pour atteindre cet objectif, nous obtiendrons un théorème de perturbation pour les aplication de Poincaré similaire au théorème de Rifford et Ruggiero dans le cadre convexe, et une forme normale de type Fermi sur les orbites d’un champ de vecteurs Hamiltonien non convexe. Ce sont deux outils applicables à l’étude de la dynamique des champs de vecteurs Hamiltoniens non convexes. D’autre part, nous montrerons que dans les cas convexes et non convexes, nous avons certainement besoin d’un mécanisme différent pour prouver le théorème des métrique bosselées pour les orbites symétriques. Une orbite symétrique est une orbite dont la projection sur les variétés de base comprend soit des points d’auto-intersection, soit des points à vitesse nulle. Ce fait a été négligé dans les études précédentes. Une étude détaillée des formes normales locales sur les segments d’orbite d’un champ de vecteurs Ha- miltonien est donnée. Cela inclut une forme normale pour les Hamiltoniens convexes, une forme normale pour les Hamiltoniens positivement homogènes qui implique la forme normale de Li-Nienberg pour les métriques de Finsler, et comme nous l’avons mentionné une forme normale pour les Hamiltoniens non convexes. De cette façon, nous éliminons la confusion qui existe dans la littérature entre la forme nor- male de Li-Nirenberg et une forme normale souhaitée similaire pour les champs de vecteurs Hamiltoniens convexes.