Auteur / Autrice : | Shahriar Aslani | |
Direction : | Patrick Bernard | |
Type : | Projet de thèse | |
Discipline(s) : | Mathématiques | |
Date : | Inscription en doctorat le | Soutenance le 13/06/2022 |
Etablissement(s) : | Université Paris sciences et lettres | |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre | |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : École normale supérieure (Paris ; 1985-....). Département de mathématiques et applications (1998-....) | |
établissement opérateur d'inscription : École normale supérieure (Paris ; 1985-....) | ||
Jury : | Président / Présidente : Marie-Claude Arnaud | |
Examinateurs / Examinatrices : Patrick Bernard, Abed Bounemoura, Maxime Zavidovique, Ludovic Rifford | ||
Rapporteurs / Rapporteuses : Ludovic Rifford, Leo Butler |
Mots clés
Résumé
Une propriété est générique au sensé de Mañé si, donné un Hamiltonien H : T ∗M → R, lensemble des fonctions lisses u : M → R tel que H + u vérifie la propriété est un sous-ensemble générique de C∞(M ). Notre objectif est de savoir dans quelle mesure la non dégénérescence de toutes les orbites périodiques dans un niveau dénergie donné dun Hamiltonien lisse non convexe est une propriété générique au sensé de Mañé. Où la non-dégénérescence signifie que dérivée de lapplication de Poincaré ne prend pas les racines de lunité comme une valeurs propre. Pour atteindre cet objectif, nous obtiendrons un théorème de perturbation pour les aplication de Poincaré similaire au théorème de Rifford et Ruggiero dans le cadre convexe, et une forme normale de type Fermi sur les orbites dun champ de vecteurs Hamiltonien non convexe. Ce sont deux outils applicables à létude de la dynamique des champs de vecteurs Hamiltoniens non convexes. Dautre part, nous montrerons que dans les cas convexes et non convexes, nous avons certainement besoin dun mécanisme différent pour prouver le théorème des métrique bosselées pour les orbites symétriques. Une orbite symétrique est une orbite dont la projection sur les variétés de base comprend soit des points dauto-intersection, soit des points à vitesse nulle. Ce fait a été négligé dans les études précédentes. Une étude détaillée des formes normales locales sur les segments dorbite dun champ de vecteurs Ha- miltonien est donnée. Cela inclut une forme normale pour les Hamiltoniens convexes, une forme normale pour les Hamiltoniens positivement homogènes qui implique la forme normale de Li-Nienberg pour les métriques de Finsler, et comme nous lavons mentionné une forme normale pour les Hamiltoniens non convexes. De cette façon, nous éliminons la confusion qui existe dans la littérature entre la forme nor- male de Li-Nirenberg et une forme normale souhaitée similaire pour les champs de vecteurs Hamiltoniens convexes.