Représentations en ondelettes de processus ponctuels pour la modélisation et l'apprentissage statistique

Wavelet-based representations of point processes for modelling and statistical learning

• Auteur / Autrice : Antoine Brochard
• Direction : Bartłomiej Błaszczyszyn, Stéphane Mallat
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 31/03/2022
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : DIENS - Département d'informatique de l'École normale supérieure
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École normale supérieure (Paris ; 1985-....)
• Jury : Président / Présidente : Agnès Desolneux
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bartlomiej Blaszczyszyn, Stéphane Mallat, Djalil CHAFAï, Brice MéNARD, Frédéric Lavancier, Kai Schneider
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Frédéric Lavancier, Kai Schneider

Mots clés

Mots clés libres

Traitement du signal

Processus ponctuels

Apprentissage statistique

Synthèse

Signal processing

Point process

Statistical learning

Synthesis

Résumé

Cette dissertation présente une classe de représentations de processus ponctuels. Inspirés par le succès des méthodes d'ondelettes en traitement du signal, c'es descripteurs sont basés sur la convolution d'un processus ponctuel avec un famille d'ondelettes. À partir de ces convolutions sont construits des ensembles de descripteurs statistiques de processus ponctuels stationnaires, en appliquant des opérateurs non linéaires, suivis d'un moyennage spatial. Tout comme les caractéristiques classiques pour les processus ponctuels, ces statistiques sont conçues pour extraire les informations contenues dans le processus en un nombre relativement faible de valeurs numériques, en décrivant sa géométrie. Leur but est de décrire la façon dont les atomes du processus ont tendance à se repousser, ou bien se regrouper, et de la sorte former des formes géométriques complexes. De par leur construction, ces descripteurs bénéficient de plusieurs propriétés qui les rendent ada ptés à des tâches d'apprentissage et d'analyse statistique. Afin d'illustrer la qualité de ces représentations en tant que descripteurs statistiques, nous étudions plusieurs problèmes impliquant l'analyse statistique de processus ponctuels. Dans un première expérience, nous cherchons à estimer une fonction inconnue qui prend en argument une configuration de points, et renvoie une version marquée de cette configuration, c'est-à-dire pour laquelle une valeur numérique est associée à chaque atome de la configuration. Nous utilisons une représentation en ondelettes de ces configurations pour estimer la relation entre leur versions non marquées et marquées. Dans un second temps, nous étudions la capacité de ces descripteurs à modéliser certaines distributions de processus ponctuels, en définissant un modèle de maximum d'entropie défini par des statistiques d'ondelettes, calculées sur une unique observation. Pour ces deux problèmes, nous observons que les représentations que l'on propose amènent de meilleures performances que les statistiqu es classiques couramment utilisées dans la littérature sur les processus ponctuels. Enfin, pour étudier à quel point de telles représentations peuvent capturer les structures géométriques présentes dans les textures, nous définissons un model de maximum d'entropie qui s'appuie sur des statistiques d'ondelettes similaires, produisant des synthèses de qualité comparable à celles de l'état de l'art, dont les modèles sont basés sur des representations à partir de réseaux convolutionels profonds.

This dissertation presents a class of representations of spatial point processes. Inspired from the success of wavelet methods in signal processing, these descriptors rely on the convolution of a point process with a family of wavelet filters. From these convolutions are built sets of statistical descriptors of stationary point process, by applying non-linear operators, followed by a spatial averaging. Much like classical summary characteristics for point processes, these statistics are designed to extract information about the process with a relatively small number of numerical values, by describing its geometry. Their goal is to describe whether the atoms of the process tend to repel each other, or cluster together, and by doing so, form possibly complex geometric shapes. By construction, these descriptors enjoy several properties that make them suitable for statistical analysis and learning tasks. To illustrate the quality of these representations as statistical descriptors, we study several problems involving statistical analysis of point processes. In a first experiment, we seek to estimate an unknown function that takes as input a point pattern, and returns a marked version of this pattern, where a numerical value is associated to each atom of the pattern. We use a wavelet-based representation of point patterns to estimate the relation between their non-marked and marked version. We then study, in a second experiment, the ability of such representations to model the distribution of a point process, by defining a maximum entropy model defined by a set of wavelet-based statistics, computed on a single observation. For these two problems, we observe that our representations lead to better performance than summary statistics commonly used in the literature on point processes. Finally, to study to what extent such representations can capture geometric structures of textu re images, we define a maximum entropy model relying on similar wavelet statistics, yielding syntheses of similar visual quality to state-of-the-art models based on deep convolutional neural networks representations.