Approximation rationnelle de sous-espaces vectoriels

Rational approximation of linear subspaces

• Auteur / Autrice : Elio Joseph
• Direction : Stéphane Fischler
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 19/05/2021
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Paulin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Michel Laurent, Nikolay Moshchevitin, Yann Bugeaud, Nicolas de Saxcé
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Michel Laurent, Nikolay Moshchevitin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie des nombres

Approximation diophantienne

Arithmétique

Mots clés libres

Arithmétique

Approximation Diophantienne

Géométrie des nombres

Arithmetic

Diophantine Approximation

Geometry of numbers

Résumé

Soient A et B deux sous-espaces vectoriels de ℝ^n de dimensions respectives d et e avec d+e≤n. La proximité entre A et B est mesurée par t=min(d,e) angles canoniques 0≤θ_1≤…≤θ_t≤π/2 ; on pose ψ_j(A,B)=sin(θ _j). Si B est un sous-espace rationnel, sa complexité est mesurée par sa hauteur H(B)=covol(B∩ℤ^n). On s'intéresse alors à l'exposant d'approximation µ_n(A|e)_j défini comme la borne supérieure (éventuellement égale à +∞) de l'ensemble des ß>0 tels que l'inégalité ψ_j(A,B)≤H(B)^(-ß) soit vérifiée pour une infinité de sous-espaces rationnels B de dimension e. On montre par exemple que la valeur minimale que prend µ_4(A|2)_1 est 3 lorsque A décrit l'ensemble des plans de ℝ^4 tels que pour tout plan rationnel B on ait A∩B={0}, et on minore cette quantité dans le cas général. On montre aussi que si A est inclus dans un sous-espace rationnel F de dimension k, son exposant dans ℝ^n est le même que son exposant dans ℝ^k via un isomorphisme rationnel F->ℝ^k, ce qui permet d'en déduire de nouvelles majorations. Enfin, on étudie les valeurs que peut prendre µ_n(A|e)_e lorsque A est un sous-espace de ℝ^n vérifiant dim(A∩B)<e pour tout sous-espace rationnel B de dimension e.

Let A and B be two subspaces of ℝ^n of respective dimensions d and e with d+e≤n. The proximity between A and B is measured by t=min(d,e) canonical angles 0≤θ_1≤…≤θ_t≤π/2 ; we set ψ_j(A,B)=sin(θ _j). If B is a rational subspace, his complexity is measured by its height H(B)=covol(B∩ℤ^n). We are interested in the exponent of approximation µ_n(A|e)_j defined as the upper bound (possibly equal to +∞) of the set of ß>0 such that the inequality ψ_j(A,B)≤H(B)^(-ß) holds for infinitely many rational subspaces B of dimension e. We show for instance that the minimal value taken by µ_4(A|2)_1 is 3 when A ranges through the set of planes of ℝ^4 such that for all rational planes B one has A∩B={0}, and we prove a lower bound in the general case. We also show that if A is included in a rational subspace F of dimension k, its exponent in ℝ^n is the same as its exponent in ℝ^k via a rational isomorphism F->ℝ^k. This allows us to deduce new upper bounds. Finally, we study the values taken by µ_n(A|e)_e when A is a subspace of ℝ^n satisfying dim(A∩B)<e for all rational subspaces B of dimension e.