Optimisation topologique de la capacité portante de structures par l'analyse limite

Strength-based topology optimization of structures using limit analysis

• Auteur / Autrice : Leyla Mourad
• Direction : Karam Sab, Wassim Raphael
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Structures et Matériaux
• Date : Soutenance le 10/12/2021
• Etablissement(s) : Marne-la-vallée, ENPC en cotutelle avec Université Saint-Joseph (Beyrouth). Ecole supérieure d'ingénieurs de Beyrouth
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, Ingénierie et Environnement
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Navier (Paris-Est)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Matériaux et structures architecturés
• Jury : Président / Présidente : Fabrice Gatuingt
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Karam Sab, Wassim Raphael, Boris Desmorat, Grégoire Allaire, Jérémy Bleyer, Romain Mesnil, Joanna Nseir
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Boris Desmorat

Mots clés

Mots clés contrôlés

Constructions en béton armé

Optimisation topologique

Éléments finis, Méthode des

Béton armé

Mots clés libres

Optimisation topologique

Bielles-Et-Tirants

Analyse limite

Béton armé

Eléments-Finis

Programme conique du second-Ordre

Limit analysis

Second-Order cone programming

Strut-And-Tie

Topology optimization

Finite elements

Reinforced concrete

Résumé

Cette thèse présente les différentes pistes de recherche abordées pendant les trois ans de mon doctorat suite auxquelles nous avons élaboré une méthode d'optimisation innovante pour répondre aux besoins des bureaux d'études. Ce travail vise à étendre la théorie de l'analyse limite, qui consiste à calculer la capacité portante maximale de la structure, aux problèmes d'optimisation topologique.Les bureaux d'études cherchent à maximiser la capacité portante d'une structure existante ou la minimisation de volume de matière lors de la conception d'une nouvelle structure dans le but d'économiser de la matière. Toutefois, les outils de calculs non-linéaires par éléments finis dont ils ont besoin coûtent cher en terme de compétences informatiques, espace de stockage et temps de calcul. Nous proposons donc une nouvelle formulation du problème afin de trouver la répartition de matière pour laquelle la capacité portante de la structure est maximale, en renseignant le critère de résistance du matériau choisi et une fraction volumique de matière donnée, dans un domaine de calcul fixe.Le problème est relaxé en considérant un champs fictif de densités continues afin de le rendre convexe, et par la suite pouvoir le résoudre avec les solveurs coniques, Mosek en particulier.Un problème alternatif est proposé: trouver la répartition de matière pour laquelle le volume total de matière nécessaire pour que la structure résiste au chargement imposé est minimal. Il est démontré que ces deux problèmes sont équivalents et s'accordent avec les deux approches, statique et cinématique, du calcul à la rupture. Un critère L1-Rankine qui a comme particularité de favoriser les efforts uni-axiaux est introduit et comparé aux critères connus de Rankine et von Mises.Les problèmes de densités intermédiaires et de dépendance au maillage sont traités grâce à l'implémentation de processus de post-traitement: pénalisation de densités semblable au SIMP et contrôle de la norme du gradient de la densité.Le problème d'optimisation topologique par analyse limite est ensuite étendu à plusieurs matériaux. Le cas de deux matériaux est étudié en particulier pour éventuellement modéliser le béton armé. Il est également possible d'optimiser uniquement le matériau de renfort avec un matériau de fond occupant tout le reste du domaine. Un ensemble d'orientations possibles peut être imposé sur la direction du renfort. Les différents problèmes proposés peuvent être généralisés en un problème d'optimisation de densités pondérées, où le paramètre introduit montre le poids associé à la présence d'un matériau au dépend de l'autre.Enfin, les exemples d'application de l'outil sur des benchmarks divers sont illustrés afin de montrer l'efficacité et les avantages de la méthode proposée. Les résultats obtenus par optimisation topologique semblent ressembler aux schémas de Bielles-et-Tirants, méthode traditionnelle de l'Eurocode 2 basée sur les champs de contraintes élastiques.Une étude est menée pour comparer les résultats obtenus par l'application de notre méthode et ceux obtenus par la méthode de B&T chez Setec Tpi.

This work presents the different research avenues tackled during the three years of my PhD thesis, in which a new optimization method is established to respond to design companies' need. It aims at extending the theory of limit analysis, which consists in computing a structure's load bearing capacity, to topology optimization problems.Design companies' job is to maximize the load bearing capacity of existing structures or to minimize material volume when designing a new structure in order to economize material. However, the non-linear finite elements softwares that are needed require computational skills, heavy memory usage and long computational time. A strength-based topology optimization problem is introduced to find the material distribution for which the structure has the maximum load-bearing capacity, given material strength properties and volume constraint, on a fixed computational domain.The problem is relaxed by considering a fictitious continuous density field which makes it convex and ready to be solved by conic optimization softwares, Mosek in particular.An alternative problem is proposed: minimizing the total material volume such that the structure can withstand a given fixed loading. Both problems are proven to be equivalent and are similar to yield design's static and cinematic approaches. An L1-Rankine criterion that promotes uni-axial stress states is introduced and compared to Rankine and von Mises.A SIMP-like penalty method with a slope control is proposed to obtain discrete topologies and solve mesh dependencies.The two variants of the problem are extended to multi-material optimization. The study is restricted to the case of two materials iin particular in order to model reinforced concrete. It is also possible to optimize a reinforcement material when a background material occupies the rest of the domain. A set of possible orientations can be given for reinforcement directions. All the proposed problems can be generalized in a weighted-densities formulation, in which the weighting factor reflects the cost of one material's presence over the other's.Finally, the problem is applied over several benchmarks to show the efficiency and the pros of the proposed method. The obtained designs are quite similar to strut-and-tie models, a traditional method based on elastic stress fields given by Eurocode 2. A comparative study between topology optimization designs and strut-and-tie models is applied over common structures given by Setec Tpi.