Stabilisation de quelques systèmes couplés impliquant problèmes de transmission (thermo-) viscoélastiques/élastiques ou équations télégraphiques dans des domaines bornés ou sur réseaux

Stabilization of some coupled systems involving (thermo-) viscoelastic/elastic transmission problems or telegraph equations in bounded domains or in networks

• Auteur / Autrice : Alaa Hayek
• Direction : Serge Nicaise, Ali Wehbe
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 01/02/2021
• Etablissement(s) : Valenciennes, Université Polytechnique Hauts-de-France en cotutelle avec Université Libanaise
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques et leurs applications de Valenciennes (2006-2021)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement délivrant conjointement le doctorat : Institut national des sciences appliquées Hauts-de-France (Valenciennes, Nord ; 2019-....)
• Jury : Président / Présidente : Julie Valein
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Serge Nicaise, Ali Wehbe, Manuel Gonzalez-Burgos, Ahmed Bchatnia, Zaynab Salloum
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Manuel Gonzalez-Burgos, Ahmed Bchatnia

Mots clés

Mots clés contrôlés

Ondes -- Propagation

Équations d'onde

Mots clés libres

Stabilité exponentielle

Semi-groupe analytique

Stabilité polynomiale

Kelvin-Voigt

Thermo-élastique

Télégraphe

Réseaux

Loi de Kirchhoff améliorée

Condition aux limites dynamique

Exponential stability

Analytic semigroup

Polynomial stability

Kelvin-Voigt

Thermo-elastic

Telegraph

Networks

Improved Kirchhoff law

Dynamic boundary condition

Résumé

Cette thèse s’intéresse a la stabilisation de certains systèmes couples impliquant des problèmes de transmission (thermo-) viscoélastique/élastique et des équations télégraphiques dans des domaines bornes ou sur réseaux. Dans un premier temps, nous considérons la stabilité d’un système d’équations d’ondes faiblement couplées avec un ou deux amortissements de type Kelvin-Voigt. L’amortissement est localise via un coefficient singulier dans une partie du domaine. D’abord, en adaptant un théorème de continuation unique, nous obtenons un nouveau résultat d’unicité et nous montrons, par conséquence, que notre système est fortement stable. Ensuite, nous montrons que le système n’est pas exponentiellement stable. Cependant, en utilisant une méthode fréquentielle combinée avec une méthode de multiplicateur par morceaux, nous établissons différents type de stabilisation polynomiale en toute dimension d’espace des que la région d’amortissement satisfait certaines conditions géométriques. Dans un second temps, nous étudions l’existence, l’unicité et la stabilité de la solution d’une équation télégraphique généralisée sur un réseau en forme d’étoile mono-dimensionnel. Sur le nœud commun intérieur, nous considérons une condition aux limites dynamique (appelée condition de Kirchhoff améliorée), tandis que sur les nœuds extérieurs du réseau, une condition aux limites dissipative est appliquée. En utilisant une méthode fréquentielle combinée avec une nouvelle technique de multiplicateur, nous montrons que le système est uniformément (exponentiellement) stable. Finalement, nous étudions la stabilité indirecte d’un probleme de transmission élastique/thermo-élastique sur réseaux. Sur chaque bord élastique, on considère deux équations d’onde conservatives tandis que, sur chaque bord thermoélastique, on considère deux équations d’onde couplées avec un seul amortissement thermique. Nous montrons que la stabilité du système est influencée par l’effet thermique et la vitesse de propagation des deux ondes. Différents résultats de stabilité exponentielle ou polynomiale sont établis.

This thesis is concerned with the stabilization of some coupled systems that involves (thermo-) viscoelastic/elastic transmission problems and telegraph equations in bounded domains or in networks. First, we consider the stability of a system of weakly coupled wave equations with one or two local internal Kelvin-Voigt dampings located via a non-smooth coefficient in a part of the domain. First, using a unique continuation theorem, we obtain a new uniqueness result and therefore, we show that our system is strongly stable. Next, we show that the system is not always exponentially stable. However, using a frequency domain approach combined with a multiplier technique, we establish different polynomial stability results in any space dimension by assuming that the damping region satisfies some geometric conditions. Second, we study the existence, uniqueness and stability of a generalized telegraph equation set on a one-dimensional star-shaped network. On the interior common node, we consider a dynamic boundary condition (called the improved Kirchhoff condition), while on the exterior nodes of the network, a dissipative boundary condition is applied. Using frequency domain approach combined with a multiplier technique and the construction of a new multiplier satisfying some ordinary differential inequalities, we prove that the system is uniformly (exponentially) stable. Finally, we investigate the indirect stability of an elastic/thermo-elastic transmission problem on networks. On each elastic edge, we consider two conservative wave equations while, on each thermo-elastic edge, we consider two coupled wave equations such that one of them is damped via a coupling with a heat equation. Mainly, we show that the stability of the system is influenced by the thermal effect and the speed of the two propagating waves. Consequently, different results of exponential or polynomial stability are established.