Réécriture modulo dans les catégories diagrammatiques

Study of the evolutionary dynamics of plant beneficial bacteria

• Auteur / Autrice : Benjamin Dupont
• Direction : Philippe Malbos, Stéphane Gaussent, Alistair Savage
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/11/2020
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Nicolas Ressayre
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Philippe Malbos, Stéphane Gaussent, Alistair Savage, Anthony M. Licata, Benjamin Elias, Vladimir Dotsenko, Femke Van Raamsdonk
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Anthony M. Licata, Benjamin Elias

Mots clés

Mots clés contrôlés

Morphismes (mathématiques)

Représentations de groupes quantiques

Mots clés libres

Réécriture modulo

Polygraphes

Algèbres diagrammatiques

Catégorification

Groupes quantiques

Rewriting modulo

Polygraphs

Diagrammatic algebras

Categorification

Quantum groups

Résumé

En théorie des représentations, de nombreuses familles de catégories sont définies par générateurs et relations diagrammatiques. Une des questions principales dans l’étude de ces catégories est le calcul de bases linéaires des espaces de morphismes. Ces calculs de bases sont en général très difficiles en raison de la complexité combinatoire des relations. Cette thèse introduit une approche constructive permettant de calculer ces bases avec des méthodes issues de la théorie de la réécriture. Nous introduisons un cadre catégorique de réécriture modulo, qui décrit le calcul dans une structure algébrique par application de relations orientées modulo les axiomes de la structure. Ce cadre nous permet de développer des outils pour réécrire dans des algèbres et catégories diagrammatiques admettant une structure inhérente complexe, telles que la structure de catégorie pivotale dans laquelle les diagrammes sont représentés à isotopie planaire près. Nous définissons la notion de système de réécriture de dimension supérieure modulo, appelés polygraphes modulo, dans un contexte ensembliste et linéaire. Ces structures polygraphiques fournissent un cadre pour les preuves de cohérence modulo ainsi que le calcul de bases linéaires. En particulier, nous démontrons que des bases linéaires pour les espaces de 2-cellules de 2-catégories pivotales peuvent être obtenues à partir de présentations dont les relations forment un système de réécriture terminant, ou quasi-terminant, et confluent modulo les relations d’isotopie planaire. Nous étudions via ces méthodes la catégorie définie par Khovanov, Lauda et Rouquier pour catégorifier le groupe quantique associé à une algèbre de Kac-Moody symétrisable simplement lacée. Nous calculons des bases explicites des espaces de 2-cellules de cette catégorie, et montrons ainsi la non-dégénérescence du calcul diagrammatique introduit par Khovanov et Lauda, prouvant dans ce cas le théorème de catégorification du groupe quantique associé. Enfin, nous étendons la structure de polygraphe modulo au contexte de la réécriture modulo les axiomes décrits par une théorie algébrique de Lawvere. Nous démontrons un lemme des paires critiques algébrique basé sur une notion de stratégie de réécriture adaptée au contexte algébrique.

In categorical representation theory, numerous families of categories are defined by presentations by diagrammatic generators and relations. One of the main questions in order to study these categories is to compute linear bases for the morphisms spaces. The computation of these bases is in general by difficult by the combinatorics of the relations. This thesis introduces a constructive approach in order to compute these bases, using methods from rewriting theory.We introduce a categorical setting for rewriting modulo, describing the computations in an algebraic structure from application of oriented relations modulo the axioms of the structure. This setting allows to develop computational tools to rewrite in diagrammatic categories and algebras admitting some inherent algebraic structure, such as pivotal categories in which diagrammatics are drawn up to planar isotopy. We define the notion of higher dimensional rewriting systems modulo, called polygraphs modulo, in a set theoretical and linear setting. These polygraphic structures give a framework for proofs of coherence results modulo and the computation of linear bases. In particular, we show that linear bases for the spaces of 2-cells of pivotal linear 2-categories can be obtained from presentations whose relations form a rewriting system that is terminating, or quasi-terminating, and confluent modulo isotopy relations. We study using these methods the 2-category introduced by Khovanov-Lauda and Rouquier in order to categorify the quantum group associated with a simply-laced Kac-Moody algebra. We compute explicit linear bases for the spaces of 2-cells of this 2-category, and thus prove the non-degeneracy of the diagrammatic calculus introduced by Khovanov and Lauda, establishing the categorification theorem of the quantum group in that context. Finally, we extend the polygraph modulo structure to a context of rewriting modulo the algebraic axioms given by an algebraic Lawvere theory. We show an algebraic critical pair lemma based on a notion of rewriting strategy, depending on the algebraic context.