Puissances de facteurs et de produits de Blaschke : coefficients de Fourier et applications

Powers of Blaschke factors and products : Fourier coefficients and applications

• Auteur / Autrice : Karine Fouchet
• Direction : Rachid Zarouf, Alexander Borichev
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 08/12/2021
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M)
• Jury : Président / Présidente : Pascal Thomas
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : El Hassan Youssfi, Anton Baranov, Juliette Leblond
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Yulia Kuznetsova, Isabelle Chalendar

Mots clés

Mots clés contrôlés

Produits de Blaschke

Fourier, Séries de

Analyse harmonique (mathématiques)

Analyse mathématique

Mots clés libres

Puissance d'un facteur de Blaschke

Coefficient de Fourier

Fonction fortement annulaire

Opérateur modèle

Conditionnement de matrices

Produit de Blaschke

Powers of a Blaschke factor

Fourier coefficient

Strongly annular function

Blaschke product

Model operator

Condition numbers of matrices

Résumé

Dans cette thèse, nous calculons les formules asymptotiques pour n grand, des coefficients de Fourier de la puissance n ième d'un facteur de Blaschke, permettant de prolonger et d'affiner les estimations déjà existantes. Pour cela, nous utilisons des outils classiques d'analyse asymptotique: la méthode de la phase stationnaire et celle de la descente la plus raide. Puis en application, nous construisons des fonctions fortement annulaires dont les coefficients de Taylor satisfont des propriétés de sommation nous permettant de généraliser et d'affiner les résultats de D.D. Bonar, F.W. Carroll et G. Piranian (1977). En utilisant des polynômes plats, nous élaborons aussi une autre construction de telles fonctions à partir d'un théorème de E. Bombieri et J. Bourgain (2009). Par ailleurs, nous obtenons une majoration asymptotiquement exacte, pour n grand, de la suite (\widehat{B^n} (k))_{k \geq 0} des coefficients de Fourier de la puissance n ième d'un produit de Blaschke fini quelconque B, que nous appliquerons dans la dernière partie de la thèse à une question d'analyse matricielle/théorie des opérateurs, énoncée par J. J. Schäffer en 1970. Nous élaborons aussi des exemples constructifs de produits de Blaschke finis qui atteignent nos majorants. Enfin nous étudions le conditionnement de matrices T \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) pour n grand, matrices dont le spectre est donné et qui agissent sur un espace de Hilbert ou de Banach, en particulier pour les matrices de Kreiss. Dans le cas banachique, nous utilisons notre majoration des \widehat{B^n}(k) pour construire des matrices de spectres donnés arbitraires réfutant la conjecture de Schäffer

In this thesis we first compute asymptotic formulas for Fourier coefficients of the n th-power of a Blaschke factor as n gets large which extend and sharpen known estimates on those coefficients. To perform this study we use standard tools of asymptotic analysis: the so-called method of the stationary phase and the method of the steepest descent. Next as an application of our asymptotic formulas we construct strongly annular functions with Taylor coefficients satisfying sharp summation properties. This allows us to generalize and sharpen results by D.D. Bonar, F.W. Carroll and G. Piranian (1977). Making use of properties of flat polynomials, we also present another construction of such functions built on a theorem by E. Bombieri and J. Bourgain (2009). In another part of the thesis we obtain sharp upper bounds as n gets large, on the sequence (\widehat{B^{n}}(k))_{k\geq0} of the Fourier coefficients of the n th-power of an arbitrary finite Blaschke product B, which we apply in the last part of the thesis to a question raised by J.J. Schäffer (1970) in matrix analysis/operator theory. We also provide constructive examples of finite Blaschke products that achieve our upper bounds. The last chapter is dedicated to the study of the condition numbers of large matrices T\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}) with given spectrum acting on a Hilbert space or on a Banach space, espacially for some specific classes of matrices, the so-called Kreiss matrices. In the Banach case, we use our upper bound on (\widehat{B^{n}}(k))_{k\geq0} where B is arbitrary to exhibit matrices with arbitrary given spectrum refuting Schäffer's conjecture