Réalisations cubiques d'ordres partiels combinatoires

Cubic realizations of some combinatorial partial orders

• Auteur / Autrice : Camille Combe
• Direction : Frédéric Chapoton
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/11/2020
• Etablissement(s) : Strasbourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Christophe Novelli
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Claudia Malvenuto, Viviane Pons
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christophe Reutenauer, Dominique Manchon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbres associatives

Mathématiques

Mots clés libres

Ordres partiels

Treillis de Tamari

Objets Fuss-Catalan

Algèbres associatives

Réalisations géométriques

Partial orders

Tamari lattices

Fuss-Catalan objects

Associative algebras

Geometric realizations

Résumé

Cette thèse s’inscrit dans le domaine de la combinatoire algébrique et porte sur l’étuded’ordres partiels admettant une réalisation géométrique particulière, appelée réalisationcubique. Après avoir introduit les coordonnées cubiques, nous munissons l’ensemble de ces objets de l’ordre de comparaison composante par composante, formant des treillis. Nous établissons ensuite un isomorphisme d’ordres partiels entre les treillis des coordonnées cubiques et les ordres partiels des intervalles des treillis de Tamari. La réalisation cubique des coordonnées cubiques permet une étude géométrique de ces treillis et également de montrer qu’ils sont épluchables. Par ailleurs, nous considérons les treillis de Hochschild qui sont des intervalles particuliers de l’ensemble des chemins de Dyck munis de l’ordre dextre. Ces treillis admettent également une réalisation cubique que nous construisons. Nous montrons entre autres que ces treillis sont épluchables, constructibles par doublement d’intervalles et plusieurs propriétés combinatoires dont le dénombrement des k-chaînes. Finalement, nous construisons trois familles d’ordres partiels dont les ensembles sous-jacents sont dénombrés par les nombres de Fuss-Catalan. Parmi elles, nous obtenons une généralisation des treillis de Stanley et une généralisation des treillis de Tamari. Ces trois familles d’ordres partiels sont liées par une relation d’extension d’ordre et partagent plusieurs propriétés. Deux algèbres associatives sont ensuite construites comme quotients de généralisations de l’algèbre de Malvenuto-Reutenauer. Leurs produits ont pour support les intervalles de nos analogues des treillis de Stanley et des treillis de Tamari. En particulier, un de ces quotients est une généralisation de l’algèbre de Loday-Ronco.

This thesis is in the field of algebraic combinatorics and deals with the study of partial orders admitting a particular geometric realization, called cubic realization. After having introduced the cubic coordinates, we endow the set of these objects with the componentwise order, forming lattices. Then we establish an isomorphism of partial orders between the lattices of the cubic coordinates and the partial orders of the intervals of the Tamari lattices. The cubic realization of the cubic coordinates allows a geometrical study of these lattices and also to show that they are shellable. Moreover, we consider the Hochschild lattices, which are particular intervals of the set of Dyck paths endowed with the dexter order. These lattices also admit a cubic realization that we construct. Among other things, we show that these lattices are shellable, constructible by interval doubling, and several combinatorial properties such as the enumeration of k-chains. Finally, we build three families of partial orders which underlying sets are enumerated by the Fuss-Catalan numbers. Among these, one is a generalization of Stanley lattices and another one is a generalization of Tamari lattices. These three families of partial orders fit into a chain for the order extension relation and they share some properties. Two associative algebras are then constructed as quotients of generalizations of the Malvenuto-Reutenauer algebra. Their products describe intervals of our analogues of Stanley lattices and Tamari lattices. In particular, one of these quotients is a generalization of the Loday-Ronco algebra.