géométrie dérivée différentielle

derived differential geometry

• Auteur / Autrice : Pelle Steffens
• Direction : Damien Calaque
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques et Modélisation
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 04/10/2022
• Etablissement(s) : Université de Montpellier (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IMAG - Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : GTA - Equipe de Géométrie, Topologie et Algèbre.
• Jury : Président / Présidente : Bertrand TOëN
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Damien Calaque, Michele Bolognesi, Joost Nuiten, Kasia Rejzner, Hiro Lee Tanaka, Carlos Simpson, Mauro Porta
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Carlos Simpson, Carlo Gasbarri

Mots clés

Mots clés libres

Géométrie dérivée

Théorie d'homotopie

Géométrie différentielle

Derived geometry

Homotopy theory

Differential geometry

Résumé

Les espaces de modules en géométrie différentielle , tels que ceux qui apparaissent dans la topologie symplectique et la théorie de jauge, sont construits via la théorie d'intersection d'opérateurs elliptiques non linéaires en dimensions infinies. Ces espaces ne sont souvent pas des variétés lisses en raison de problèmes de transversalité. Le but de ce travail est de résoudre ces problèmes dans le paradigme de la géométrie dérivée dû à Lurie et Toën-Vezzosi. Nous caractérisons l'infini-catégorie des variétés dérivées via une propriété universelle dans la (infini,2)-catégorie des infini-catégories complètes par limites finies et montrons qu'elle admet une description comme l'infini-catégorie des anneaux C-infinis homotopiques simpliciaux de présentation finie. On fait la même chose pour les variétés dérivées à bord, dont on montre qu'elles sont des anneaux C-infinis simpliciaux équipés de structures logarithmiques positives. Nous montrons ensuite que ces objets admettent une bonne théorie des champs dérivés supérieurs et étudions leur théorie de déformation.

Moduli spaces in differential geometry, such as those arising in symplectic topology and gauge theory, are constructed via intersection theory of nonlinear elliptic operators in infinite dimensions. These spaces are often not smooth manifolds due to transversality issues. The purpose of this work is to resolve these problems in the paradigm of derived geometry due to Lurie and Toën-Vezzosi. We characterize the infinity-category of derived manifolds via a universal property in the (infinity,2)-category of finitely complete infinity categories and show that it admits a description as the infinity-category of homotopically finitely presented simplicial C-infinity rings. We do the same thing for derived manifolds with corners, which we show are simplicial C-infinity rings equipped with positive log structures. We then show that these objects admit a good theory of higher derived stacks and investigate their deformation theory.