Polyédres auto-duaux fortement involutifs.

Strongly Involutive Self Dual Polyhedra.

• Auteur / Autrice : Eric Perez contreras
• Direction : Jorge Luis Ramírez Alfonsín, Luis Montejano peimbert
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques et Modélisation
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 28/10/2020
• Etablissement(s) : Montpellier en cotutelle avec Universidad Nacional Autónoma de México
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IMAG - Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck
• Jury : Président / Présidente : Shalom Eliahou
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jorge Ramirez alfonsin, María Camino BALBUENA MARTíNEZ, Luis Montejano peimbert, Kolja Knauer
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : María Camino BALBUENA MARTíNEZ, Shalom Eliahou

Mots clés

Mots clés libres

Polyèdre

Plongement

Theorie des graphes

Géométrie

Polyhedra

Embedding

Graph theory

Geometry

Résumé

Un graphe planaire et 3-connexe G = (V, E) ne peut être essentiellement dessiné que d'une seule manière dans un plan ou sur une sphère. Ce fait fondamental est le résultat du travail de H. Withney. Il nous dit qu'en plus des ensembles V et E de sommets et d'arêtes, nous avons également déterminé l'ensemble F de faces, et son graphe dual G* est bien défini. Le graphe dual G* est le graphe dont l'ensemble des sommets V* est l'ensemble des faces F de G, et deux nouveaux sommets en G* sont reliés par un arc si et seulement si les faces les définissant sont adjacentes en G. D'après le théorème de E. Steinitz, nous savons que c'est la même chose de parler de polyèdres au sens de 3-polytopes convexes et de parler de ces graphes, nous les appellerons donc polyèdres. Un polyèdre est un graphe G simple (pas de boucles ni d'arêtes multiples), planaire et 3-connexe. Un polyèdre P est dit autodual s'il y a un isomorphisme des graphes $tau :P rightarrow P^{*}$ que nous appellerons textit{isomorphisme de la dualité}. Il peut y avoir plusieurs de ces isomorphismes de la dualité et chacun d'eux est une bijection entre sommets et faces de $P$, de sorte que les sommets adjacents correspondent aux faces adjacentes. Nous nous intéressons à un isomorphisme de la dualité qui satisfait les deux propriétés suivantes: (i) Pour chaque paire $u,v$ de sommets, $uin tau (v)$ si et seulement si $v in tau (u)$. (ii) Pour chaque vertex $v$, nous devons $v notin tau (v)$. Un tel isomorphisme sera appelé textit{involution forte}. Si P est un polyèdre autodual qui admet une involution forte $tau$, nous dirons que P est un polyèdre fortement involutif. Dans cet ouvrage, notre étude des polyèdres fortement involutives s'inspire des polyèdres de Reuleaux. Le problème central consiste à caractériser ces polyèdres autoduels qui admettent un plongement métrique : une fonction d'injection $eta : mathbb {E}^3$ tel que $mbox{diamV) = 1$ et la distance euclidienne entre deux points quelconques $eta(u)$ et $eta(v)$ est 1 si et seulement si $uin tau (v)$. Lorsque cela est possible, le travail de L. Montejano et E. Roldán-Pensado propose une façon d'associer un corps de largeur constante à chaque polyèdre. B. Servatius et H. Servatius réinterprètent les graphiques autoduels comme “cartes” dans la sphère et leurs automorphismes et dualités comme isométries de la sphère. Ils classent les paires de groupes $mbox{Aut} (G), mbox{Dual}(G)$ qui donnent lieu à toutes les cartes autoduelles sphériques possibles, où $mbox{Aut}(G)$ est le groupe d'automorphismes du graphe $G$ associé à la carte et $mbox{Dual}(G)$ est le groupe constitué à la fois d'automorphismes et d'isomorphismes de dualité de $G$, avec $mbox {Aut} (G)$ étant un sous-groupe de l'indice 2 de $mbox {Dual} (G)$. Dans cette thèse, nous allons explorer plusieurs exemples pour noter l'importance des automorphismes et des isomorphismes de la dualité dans les graphes planaires et 3-connexes. Nous utilisons les idées de Servatius pour réinterpréter le problème géométriquement à travers les isométries de la sphère afin de prouver que tous les polyèdres autoduels ont au plus une involution forte et c'est en fait la fonction antipode. À partir de là, nous classons les paires de groupes $mbox{Aut}(G)$, $mbox{Dual}(G)$ qui donnent lieu à des polyèdres auto-duels fortement involutifs. D'autre part, un théorème est établi qui classifie les polyèdres autoduels fortement involutifs par des opérations de suppression et de contraction d’arêtes. Nous utilisons ce théorème pour construire une ajustement antipodale pour chaque polyèdre autoduel donné $(P,tau)$: une ajustement en $mathbb{E}^3$ dans laquelle pour chaque sommet $v$, les images de $v$ et de $tau (v)$ sont des points antipodaux. Enfin, nous présentons certains des travaux en cours pour trouver des plongements métriques dans deux familles infinies de polyèdres autoduels.

A planar and 3-connected graph G = (V, E) can be drawn in essentially one way on the sphere or the plane. This fundamental fact is a result of the work of H. Withney cite{whitney}. It tells us that we not only have the sets V and E defined, but that the set F of faces is also determined, and furthermore the dual graph G* is well defined. The dual graph G* is the graph whose vertex set V* is the set of faces F of G, and two new vertices in G* are connected by an edge if and only if the faces that define them are adjacent in G. From E. Steinitz's theorem we know that it is the same to talk about polyhedra in the sense of convex polytopes and to talk about these graphs, so we will refer to them as polyhedra. A polyhedron is a graph G that is simple (without loops and multiple edges), planar and 3-connected. A polyhedron P is said to be self-dual if there exists an isomorphism of graphs $tau: P rightarrow P^{*}$. This isomorphism is called a textit{duality isomorphism}. There may be several of these duality isomorphisms and each of them is a bijection between vertices and faces of $ P$, such that adjacent vertices correspond to adjacent faces. We are interested in such an isomorphism that satisfies two more properties: (i) For each pair $u,v$ of vertices, $uin tau (v)$ if and only if $v in tau (u)$. (ii) For every vertex $v$, we have that $v notin tau (v)$. Such an isomorphism will be called a strong involution. If $ P$ is a self-dual polyhedron admitting a strong involution $tau$, we will say that $ P$ is a strongly involutive polyhedron. In this work, our study of strongly involutive self-dual polyhedra has been inspired in the Reuleaux Polyhedra. The central problem consists on characterizing those self-dual polyhedra that admit a emph{metric embedding}: an injective function $eta:Vto mathbb{E}^3$ such that $mbox{diam}(eta(V))=1$ and the euclidean distance between any two points $eta(u)$ and $eta(v)$ is 1 if and only if $uin tau (v)$. If this is possible, the work of L. Montejano and E. Roldán-Pensado shows a way to associate a constant width body to such a polyhedron. B. Servatius and H. Servatius reinterpret self-dual graphs as “maps” in the sphere and their automorphisms and dualities as isometries of the sphere. They classify the pairs of groups $mbox{Aut}(G), mbox{Dual}(G)$ that give rise to all possible spherical self-dual grahps, where $mbox{Aut}(G)$ is the group of automorphisms from the graph $G$ associated with the map and $mbox{Dual}(G)$ is the group consisting of both automorphisms and duality isomorphisms from $G$, with $mbox {Aut} (G)$ being a subgroup of $mbox {Dual} (G)$ of index 2. In this thesis we will explore several examples to note the importance of automorphisms and isomorphisms of duality in planar and 3-connected graphs. We use Servatius' ideas to reinterpret the problem geometrically through isometries of the sphere to prove that all self-dual polyhedra have at most one strong involution and, in fact, is the antipodal function. Using this, we classify the pairs $mbox{Aut}(G), mbox{Dual}(G)$ of groups that give rise to strongly involutive self-dual polyhedra. On the other hand, a theorem is established that classifies strongly involutive self-dual polyhedra through edge deletion and contraction operations. We use this theorem to construct an antipodal embeddint for each given self-dual polyhedron $(P,tau)$: an embedding in $mathbb{E}^3$ in which for each vertex $v$, the images of $v$ and of $tau (v)$ are antipodal points. Finally we present some of the work currently being done to find metric laces in two infinite families of self-dual polyhedrons.