Thèse en cours

Etude de l’opérade Swiss-cheese et applications à la théorie des longs noeuds

FR

Accès à la thèse

Triangle exclamation pleinLa soutenance a eu lieu le 10/12/2015. Le document qui a justifié du diplôme est en cours de traitement par l'établissement de soutenance.
Auteur / Autrice : Julien Ducoulombier
Direction : Muriel Livernet
Type : Projet de thèse
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Inscription en doctorat le 24/07/2012
Soutenance le 10/12/2015
Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Sorbonne Paris Nord (Bobigny, Villetaneuse, Seine-Saint-Denis ; 1970-....)

Résumé

FR

L’objectif de ce travail est l’étude de l’opérade Swiss-Cheese SCd qui est une version relative de l’opérade des petits cubes Cd. On montre que les théorèmes classiques dans le cadre des opérades non colorées admettent des analogues dans le cas relatif. Il est ainsi possible d’extraire d’une opérade pointée O (i.e. un opérade colorée sous 0(SC1) ) un couple d’espaces semi-cosimpliciaux (Oc ; Oo) dont les semitotalisations sont faiblement équivalentes à une SC2-algèbre explicite. En particulier, on prouve que le couple (L1 ; n ; Lm; n), composé de l’espace des longs noeuds et de l’espace des longs entrelacs à m brins,est faiblement équivalent à une SC2-algèbre explicite. Dans un second temps, on s’intéresse aux couples d’homologies singulières et d’homologies de Hochschild associés à une paire d’espaces semi-cosimpliciaux provenant d’une opérade pointée. Dans ce contexte, les couples (H (sTot(Oc)) ; H (sTot(Oo))) et (HH (Oc) ; HH (Oo)) possèdent tous deux une structure de H (SC2)-algèbre explicite. On montre alors que le morphisme de Bousfield entre ces deux couples préserve les structures deH (SC2)-algèbres. Cela nous permet de mieux appréhender le couple de suites spectrales de Bousfield calculant (H (sTot(Oc)) ; H (sTot(Oo))). En particulier, on énonce un critère permettant de faire le lien entre le couple d’homologies singulières issu d’une opérade symétrique multiplicative topologique et la page E2 des suites spectrales de Bousfield. La dernière étape de notre étude consiste à généraliser les précédents résultats. Pour cela, on se base nsur une conjecture de Dwyer et Hess qui vise à identifier une Cd+1-algèbre à partir d’un morphisme d’opérades Cd ! O. En admettant ce résultat, on introduit une opérade colorée CCd telle que l’on peut extraire une SCd+1-algèbre à partir d’un morphisme d’opérades colorées CCd ! O. On montre ainsi que le couple d’espaces (Ld1 ; n ; T1Imm(k)(Rd ; Rn)), composé de l’espace des longs noeuds en dimension d et de l’approximation polynomiale des (k)-immersions, est faiblement équivalent à une SCd+1-algèbre explicite.