Quelques théorèmes métriques pour les quotients partiels des fractions continues régulières et des β-fractions continues.

Some metric theorems for the partial quotients of regular continued fractions and continued β-fractions.

• Auteur / Autrice : Jing Feng
• Direction : Lingmin Liao
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2021
• Etablissement(s) : Paris 12
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées (Créteil ; 1992-....)

Mots clés

Mots clés libres

Dimension de Hausdorff

Fractions continues régulières

Β-fractions continues

Quotients partiels

Théorème de Borel-Bernstein

Hausdorff dimension

Regular continued fractions

Continued β-fractionss

Partial quotients

Borel-Bernstein Theorem

Résumé

L'approximation diophantienne étudie l'approximation d'un nombre réel par des rationnels. En 1842, Dirichlet a démontré son théorème fondamental dans l'approximation : tout nombre réel est uniformément bien approché par des rationnels avec une vitesse polynomiale. Comme corollaire, tout nombre réel est asymptotiquement bien approché par des rationnels avec la même vitesse. Dans la littérature, on trouve beaucoup d'études sur cette dernière propriété d'approximation asymptotique, mais très peu de recherche sur l'approximation uniforme. En général, on s'intéresse à la taille des ensembles des nombres qui sont uniformément approchés par des rationnels avec une vitesse étant donnée. En 2017, Kleinbock et Wadleigh ont obtenu des résultats sur la mesure de Lebesgue de ces types d'ensembles. En 2018, Kim et Liao ont trouvé des résultats concernant la dimension de Hausdorff. En particulier, Kleinbock et Wadleigh ont prouvé que l'approximation uniforme est fortement liée avec le taux de croissance des produits des deux quotients partiels consécutifs de fractions continues du nombre approché. Nous souhaitons étudier ce lien en détail. Nous calculons la dimension de Hausdorff des ensembles des nombres qui ont leur taux de croissance des produits des deux (ou plus) quotients partiels prescrits. Comme une généralisation de l'approximation diophantienne uniforme dans systèmes dynamiques, nous souhaitons également étudier la taille des ensembles des points dans l'espace qui sont uniformément approchés par des orbites d'un système dynamique avec une vitesse donnée. Nous généraliserons les résultats de Bugeaud et Liao en 2016 sur l'approximation uniforme des beta-transformations aux systèmes dynamiques chaotiques.

The Diophantine approximation studies the approximation of a real number by rationales. In 1842, Dirichlet demonstrated his fundamental theorem in approximation: any real number is uniformly well approximated by rationals with polynomial speed. As a corollary, any real number is asymptotically well approximated by rational numbers with the same speed. In the literature, there are many studies on this latter property of asymptotic approximation, but very few research on the uniform approximation. In general, we are interested in the size of sets of numbers that are uniformly approximated by rationals with a given speed. In 2017, Kleinbock and Wadleigh obtained some results on the Lebesgue measure of these types of sets. In 2018, Kim and Liao proved some results regarding the Hausdorff dimension. In particular, Kleinbock and Wadleigh proved that the uniform approximation is strongly related with the growth rate of the products of two consecutive partial quotients of continued fractions of the number approximated. We wish to study this link in detail. We compute the Hausdorff dimension of sets of numbers which have their growth rate of the products of the two (or more) partial quotients being prescribed. As a generalization of the uniform Diophantine approximation in dynamical systems, we also want to study the size of sets of points in space which are uniformly approximated by orbits of a dynamical system with a given speed. We will generalize the results of Bugeaud and Liao in 2016 on the uniform approximation of beta-transformations to chaotic dynamical systems.