Aspects combinatoriaux et de géométrie discrète des fibres et condensats de protéines

by Clément Lagisquet

Doctoral thesis in Mathématiques Appliquées

Under the supervision of Laurent Vuillon.

Ongoing thesis at Chambéry , under the authority of École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique , in a partnership with Laboratoire de mathématiques (laboratoire) .

Alternative Title

Discrete geometry and combinatorial aspects of protein fibers and condensates
Abstract

Discrete geometry is rich in theoretical fields and practical applications. We present results in both categories. Tilings have long fascnated artists and savants. Here we develop the utilization of boundary words and the correspondence between their factorizations and the action group on the tilings. Markov numbers are at the heart of a century old conjecture from Frobenius in number theory, which gave rise to numerous subconjectures. We present an answer to three of them (and disprove some others) with the help of local transformations on paths. We also expand the Frobenius conjecture to a superset containing the Markov numbers. On the applications' side, we use tilings on the cylinder to construct model fibrils (protein structures, which are found in conjunction with some disease e.g. Alzheimer or Parkinson). We also model and study properties of biomolecular condensates using graph theory in order to better understand their internal organization and dynamic

Abstract

La géométrie discrète est riche de nombreux domaines théoriques et d'une multitude d'applications. Nous présentons des résultats dans les deux catégories. Les pavages ont longtemps fasciné aussi bien les artistes que les savants, dans ces pages nous développons l'usage des mots de contour et de leurs factorisations en correspondance avec les groupes cristallographiques agissant sur les pavages. Les nombres de Markov sont au cœur d'une conjecture de théorie des nombres depuis plus d'un siècle et qui a donné naissance à de nombreuses sous-conjectures. Nous présentons la solution à trois d'entre elles (et en réfutons d'autres) grâce à des transformations locales sur les chemins et étendons la conjecture de Frobenius à un sur-ensemble des nombres de Markov. Du côté des applications, nous utilisons les pavages sur des cylindres afin de modéliser des fibres biologiques, des agglomérations de protéines qui sont souvent présentes concomitamment à des pathologies comme les maladies d'Alzheimer ou de Parkinson. Nous modélisons et étudions également certaines propriétés des condensats biomoléculaires à l'aide de la théorie des graphes afin de mieux comprendre leurs organisation et dynamique internes