Equations différentielles stochastiques rétrogrades de second ordre et l'analyse numérique du problème de Sannikov

Quadratic second-order backward stochastic differential equation and numeric analysis for Sannikov's optimal contracting problem

• Auteur / Autrice : Bowen Sheng
• Direction : Nizar Touzi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 01/08/2022
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École polytechnique (Palaiseau, Essonne ; 1795-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de mathématiques appliquées (Palaiseau, Essonne)
• Jury : Président / Présidente : Caroline Hillairet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nizar Touzi, Anis Matoussi, Chao Zhou
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Anis Matoussi, Chao Zhou

Mots clés

Mots clés contrôlés

Apprentissage profond

Équations différentielles stochastiques rétrogrades

Analyse numérique

Probabilités

Mots clés libres

EDS rétrogrades d'ordre 2(EDS rétrogrades. EDS rétrogrades réfléchies)

Problème de Sannikov

Problème de Principal-Agent

Apprentissage profond

Contrôle stochastique et arrêt optimal

2bsde(bsde.rbsde)

Sannikov's problem

Principal-Agent problem

Deep learning

Stochastic control and optimal stopping

Résumé

Cette thèse se concentre principalement sur deux sujets.La première partie présente le problème d'existence et d'unicité de solution d'équations différentielles stochastiques de second ordre (2BSDE en bref). Après un résumé concernant les résultats d'équations différentielles stochastiques réfléchies à croissance quadratique, i.e., le problème d'existence et d'unicité de solution, la comparaison, le stabilité, etc., on centralise essentiellement le problème résolution de 2BSDE correspondant. Hormis la croissance quadratique, on suppose aussi que le générateur f soit concave de z avec une gradient linéaire. Celui-ci nous offre une inégalité nouvelle de traversées descendantes de la fonction valeur (ou plus généralement d'une f-surmartingale) V. Après avoir obtenu la régularité de sa limite en t, on s'est appuyé sur les études de Soner, Touzi et Zhang pour établir une expression de solution et vérifier l'existence et l'unicité.La deuxième partie traite du problème de contrat optimal de Sannikov sous contrainte de faillite du bien de production. Un modèle de délégation fait partie du problème de contrat, où l'Agent s'occupe du processus de la production et le Principal définit les règles du contrat d'après la performance du processus de la production, en espérant inciter l'Agent à s'engager plus efficacement vers son objectif. Le contrat a besoin de l'accord de l'Agent au début et progresse en temps réel selon des efforts de deux cotés. Et puis il stipule le temps d'arrêt (déterministe ou aléatoire) du contrat et un versement continu du Principal à l'Agent jusqu'au terminal ainsi que un versement en une fois à la fin. Notre objectif est d'étudier l'effet d'imposer que le temps d'arrêt du contrat survienne avant la faillite du bien de production. Dans ce but, on propose un nouveau algorithme numérique, se fondant sur les réseaux neurons dans le cadre de la méthode de Galerkin, pour examiner le comportement de la fonction valeur issue de problème correspondant du Principal.

This thesis works mainly on two subjects.The first part is about the wellposedness of quadratic second-order backward stochastic differential equation. After a summary of previous research results on the solutions of quadratic reflected backward SDE, i.e., wellposedness (existence and uniqueness), comparison principle, stability result, etc., we in this paper mainly consider the wellposedness of solutions for the corresponding second order backward SDE. Besides the quadratic growth, we also assume that the generator f is concave in z with linearly growing gradient. This leads to a new downcrossing inequality of the value function (also a f-supermartingale) V. Gaining the regularity of its right limit w.r.t. t we follow Soner, Touzi and Zhang to get the representation of solutions and implement the proof of wellposedness.The second part is about the Sannikov optimal contracting problem under defaultable output process. The contracting problem consists of a delegation scheme between two parties, the Agent in charge of the management of the output process, and the Principal who sets up the terms of a contract indexed on the performance of the output process so as to incite the Agent to best serve her objective. The contract requires the Agent approval at the initial time, and is then subject to the full commitment of both parties. The contract stipulates the termination time of the contract, a continuous payment until termination, and a lump sum payment at termination. Our main objective in this paper is to explore the effect of restricting the termination time of the contract to occur before the default of the contract. To this end, we propose a type of Galerkin neural network numerical approximation to investigate the behavior of the value function arised in the Principal's problem.